一个新发现的几何定理（老封）

mathe

什么是配极像？图中是抛物线上点关于圆O的极线包络的曲线？

陈九章

mathe老师：您好！
为了精准，刚才特意问了叶老师本人。他说：
配极像可以定义为动切线关于定圆极点的轨迹，也可定义为动点极线的包络。
老封的定理，真的很深刻，不好证明。估计也只有贵论坛几个顶尖高手能证明了。期待精彩！

mathe

陈九章 发表于 2019-4-8 09:46
mathe老师：您好！
为了精准，刚才特意问了叶老师本人。他说：
配极像可以定义为动切线关于定圆极点的轨 ...

那就是我的理解没错。
圆锥曲线上动点关于定圆（或者定圆锥曲线）的极线的包络线是圆锥曲线是很显然的。
而圆锥曲线上动切线关于定圆（或者定圆锥曲线）的极点的轨迹是圆锥曲线和上面的结论是对偶的
这两者是一致的。
但是关于这些圆锥曲线的离心率，这方面我不熟悉，离线率不是射影不变量，我了解的不多。

陈九章

老师说得很对！
离心率是如何推导出来？
能够用符号软件搞定？

mathe

硬算得靠@数学星空。不过最好能够对离心率本身有比较好的理解。
比如 圆锥曲线的作图问题给出了焦点一个很有意思的性质，就是过圆锥曲线焦点的虚切线会经过圆和无穷远直线的虚焦点。如果能够找到离心率类似的性质，应该会很有用。

hejoseph

离心率可用二次曲线的不变量来推导，二次曲线为
\[
a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0
\]
定义
\begin{align*}
I_1&=a_{11}+a_{22}\\
I_2&=\left|
\begin{array}{cc}
a_{11}&a_{12}\\
a_{12}&a_{22}
\end{array}
\right|\\
I_3&=\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{array}
\right|\\
K_2&=\left|
\begin{array}{cc}
a_{11}&a_{13}\\
a_{13}&a_{33}
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
a_{21}&a_{23}\\
a_{23}&a_{33}
\end{array}
\right|
\end{align*}
特征方程
\[
\lambda^2-I_1\lambda+I_2=0
\]
两根为 $\lambda_1$、$\lambda_2$。

$I_2\ne 0$，二次曲线可化简为
\[
\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+\frac{I_3}{I_2}=0
\]
$I_2=0$ 且 $I_3\ne 0$ 时，二次曲线可化简为
\[
I_1y^2\pm 2\sqrt{-\frac{I_3}{I_1}}x=0
\]
$I_2=0$ 且 $I_3=0$ 时，二次曲线可化简为
\[
I_1y^2+\frac{K_1}{I_1}=0
\]

hejoseph

另外，用圆点和迷向切线可以直接求出圆锥曲线的焦点。四迷向切线（过复射影平面上的圆点 \((1,i,0)\)、\((-1,i,0)\) 的切线）的交点就是圆锥曲线的焦点（两个是实点两个是虚点）。

mathe

现在我们已经知道，过圆上无穷远点(1:i:0)或(1:-i:0)做圆锥曲线的两切线分别经过圆锥曲线的两焦点，由此我们也可以得出圆锥曲线的参数$2c$。
另外，如果直角坐标系两条坐标轴和一条圆锥曲线的两条对称轴分别平行，其中x轴平行两焦点的连线，那么对于双曲线，有两渐近线$y=b/ax$和$y=-b/ax$,
而对于椭圆，有两条虚渐近线$y={bi}/ax$和$y=-{bi}/ax$。也就是圆锥曲线和无穷远直线交于点$(a: b: 0)$和$(a: -b :0)$或$(a: bi :0)$和$(a: -bi :0)$
所以我们只要通过过点(1:i:0)和(1:-i:0)分别都做圆锥曲线两条切线，可以相交处圆锥曲线两焦点并且得出其参数$2c$。
然后做坐标变换使得坐标轴分别平行和垂直两焦点的连线，在计算处此时曲线和无穷远点的交点，就能够计算出$b/a$或${bi}/a$,由此就可以计算出曲线的离心率。
事实上，这种方法对于抛物线也可以成立，只是这时只有一个焦点，而且曲线和无穷远直线相切于一点。

mathe

题目中配极过程将点变换为直线，直线变换为点,而且是对合的。
如果将配极所用的圆看成单位圆,也就是以O为圆心，圆O半径看成单位长度1，那么上面配极过程就会将平面坐标的点$(x_0,y_0)$变换为直线$x_0x+y_0y-1=0$。
或者说把射影平面上点$(x_0:y_0:1)$变换为直线$[x_0:y_0:-1]$(同样将直线$[x_0:y_0:-1]$变换为点$(x_0:y_0:1)$）。
其中特别的无穷远点$(u:v:0)$被变换为过原点的直线$[u:v:0]$,两者坐标形式类似，但是此无穷远点代表的方向和它变换后对应的直线垂直。
所以我们如果将配极所用圆看成单位圆，于是题目中抛物线方程需要改成$(y-v)^2=2p(x-u)$,而椭圆方程改为${(x-u)^2}/{a^2}+{(y-v)^2}/{b^2}=1$等。
而根据配极，无穷远直线的原像是经过原点的线束，所以为了求变换以后曲线的离心率，我们第一步可以先求其焦点的原像。
由于圆上无穷远点$(1: +-i: 0)$由直线$[1:+-i:0]$变换而来，所以我们需要分别计算两条直线$[1:+-i:0]$和原圆锥曲线的交点，分别连接两条直线产生的交点得出的直线就是焦点的原像（其中会分别有实直线和虚直线，取实直线），由此我们可以计算出新圆锥曲线的两个焦点坐标。
第二步我们可以计算新圆锥曲线和无穷远直线的交点，这个就是旧圆锥曲线过原点O的两条切线的像。计算出这两条切线，就得出新曲线和无穷远直线的交点，然后再通过坐标旋转将两焦点连线旋转为横轴，得出变换后新曲线和无穷远直线的交点，最后就可以计算出$b/a$或${bi}/a$,最后就可以计算出离心率了，于是这个问题就变成一个不算太复杂的计算题了。
另外这时容易看出，在配极圆圆心在原曲线内部，过这个点做原曲线两切线必然是虚切线，所以通过计算出来标准化后无穷远点应该得出${bi}/a$，所以变化后曲线是椭圆。而如果配极圆圆心在原曲线外部，过这个点做原曲线可以有两条实切线，所以通过计算出来标准化后无穷远点可以得出$b/a$,变换后曲线是双曲线。而配极圆圆心在原曲线上，那么变化后显然是抛物线。
如图，粉蓝曲线互换

数学星空

设椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，则定点\(P[x_0,y_0]\)向椭圆作两条切线交于\(P_1[x_1,y_1],P_2[x_2,y_2]\)

则这两交点\(P_1P_2\)构成的极线方程满足：

\(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\)

\(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\)

\(\frac{x_0x_1}{a^2}+\frac{y_0y_1}{b^2}=1\)

\(\frac{x_0x_2}{a^2}+\frac{y_0y_2}{b^2}=1\)

\(\frac{y-y_1}{x-x_1}-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=0\)

消元\(x_1,y_1,x_2,y_2\)得到：

\(a^2y^2-2a^2yy_0+a^2y_0^2+b^2x^2-2b^2xx_0+b^2x_0^2-x^2y_0^2+2xx_0yy_0-x_0^2y^2=0\)

对照圆锥曲线一般方程：

\(a_{11}y^2+2a_{12}xy+a_{22}x^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0\)

得到

\(a_{11} = a^2-x_0^2, a_{12} = x_0y_0, a_{22}= b^2-y_0^2, a_{23}= -a^2y_0, a_{13}= -b^2x_0, a_{33}= a^2y_0^2+b^2x_0^2\)

设配极像圆锥曲线长轴，短轴，离心率分别为\(m_1,n_1,e\)

\(\frac{1}{m_1^2}+\frac{1}{n_1^2}-a^2-b^2+x_0^2+y_0^2=0\)

\(\frac{1}{m_1^2n_1^2}-(a^2-x_0^2)(b^2-y_0^2)+x_0^2y_0^2=0\)

\(e^2m_1^2-m_1^2+n_1^2=0\)

消元\(m_1,n_1\)得到：

\(a^2b^2e^4-a^2e^4y_0^2-b^2e^4x_0^2+a^4e^2-2a^2b^2e^2-2a^2e^2x_0^2+2a^2e^2y_0^2+b^4e^2+2b^2e^2x_0^2-2b^2e^2y_0^2+e^2x_0^4+2e^2x_0^2y_0^2+e^2y_0^4-a^4+2a^2b^2+2a^2x_0^2-2a^2y_0^2-b^4-2b^2x_0^2+2b^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

最终整理方程即有：

\(\frac{e^2-1}{(e^2-2)^2}=\frac{a^2b^2(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1)}{(-a^2-b^2+x_0^2+y_0^2)^2}\)