一个新发现的几何定理（老封）

陈九章 · 发表于 2019-4-30 15:45:33

陈九章 · 发表于 2019-4-30 15:46:35

陈九章 · 发表于 2019-4-30 15:48:56

mathe · 发表于 2019-4-30 17:14:22

43#很显然，D'处俩切线就是俩抛物线的像，于是可以得出俩切点对应圆心角也是＄theta$或其补角。用到的性质是俩无穷远点关于三角形三顶点的夹角在等角共轭变换下不变，而且无穷远点变化到三角形的外接圆上。
而有了这个结论后前两个也可以直接根据27#得出。

陈九章 · 发表于 2021-4-10 15:29:56

问题：设P为椭圆内一定点，以点P为直角顶点的动弦的包络为另一椭圆，
求该椭圆的方程。

mathe · 发表于 2021-4-11 11:40:14

陈九章发表于 2021-4-10 15:29
问题：设P为椭圆内一定点，以点P为直角顶点的动弦的包络为另一椭圆，
求该椭圆的方程。

这种题目应该在射影几何中有现成结论。我喜欢将其推广并且表示成对偶形式，
就是给定圆锥曲线C和一条不相切的直线l以及l上的一个对合关系H.
那么过l上任意一个点P和Q=H(P)分别向C各引一条切线，两条切线的交点的轨迹是一条圆锥曲线。

为了证明这个圆锥曲线，我们可以通过射影变换，将直线l映射为无穷远直线，并且对合关系H映射为90度旋转关系。
于是P和H(P)向C引的切线变成C的两条相互垂直的切线，其交点轨迹为蒙日圆，显然是圆锥曲线。

mathe · 发表于 2021-4-11 13:31:24

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这个对偶形式轨迹如上图。用对偶形式的好处是做图容易。
其中A,B为任意给定的点，取直线l上动点P,那么过A,B,P三点的圆交l于另外一个点Q确定了直线l上P=>Q的对合关系。
分别过P和Q做圆锥曲线C的切线相交于F,G,H,J等。它们的轨迹分别如图形成红绿紫色等部分曲线共同构成一条圆锥曲线。
这个命题同轨迹是否为圆41#中的有些类似，
我当时做那个图时已经发现了这个结论并且记得贴到数学研发论坛中的，但是现在发现找不到了。

mathe · 发表于 2021-4-11 13:53:10

46#的分析是从复数域的范围来考虑，这时直线上的所有对合变换可以通过复射影变换相互转化，所以我们可以将所有直线上的对合变换转为为无穷远直线上的90度旋转变换，这使得命题可以等价于蒙日圆定理。
但是如果仅局限于实数域，那么，对合变换通过实射影变换以后会变换为两种，其中一种没有不动点，对应于上面的90度旋转变换；另外一种有两个不动点，可以对应于关于横坐标的对称变换，而这种情况对应于
对于任意一条圆锥曲线，其斜率互为相反数的切线的交点轨迹为圆锥曲线.

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mathe · 发表于 2021-4-11 21:59:55

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有意思的推论：
给定任意圆锥曲线c和曲线外两点F,G. 过F,G做c的切线分别切c于H,I,J,K. 那么F,G,H,I,J,K六点共圆锥曲线.
而这个推论也可以通过HK和IJ的交点的极线就是直线MLN得出。

mathe · 发表于 2021-4-12 21:13:34

在上图中，如果我们将点H,K投影到无穷远点$(1: \pm i: 0 )$, 曲线C将变成圆，直线HK对应极点L变成圆心。
于是43#问题转化为要求证明在直线LM上关于L,M调和共轭的两点P,Q分别向圆C做一条切线，那么两切线必然相交于以LM为直径的圆上，于是把问题转化为一个纯平面几何问题;

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已知：给定圆L和圆外一点M, 点D，E不在直线LM和圆L,而且过L,D,E的圆以及过M,D,E的圆都和直线LM相切。
过D,E任做一个圆交直线LM于P,Q两点。分别过P,Q向圆L做切线PI和QH, PI和QH相交于点F.
求证: F在以LM为直径的圆上。

证明过程也不难，由于L在$/_IFH$的角平分线上，只要证明M在$/_PFQ$的角平分线上，就证明了LF垂直MF,所以F在以LM为直径的圆上。
分别过L和M做IP,HF做垂线段LU,LV, MS,MT
于是MS/LU=PM/PL, MT/LV=MQ/QL
利用P,Q关于L,M调和共轭，所以PM/PL=QM/QL,得出MS/LU=MT/LV, 所以MS=MT,得出M在$/_PFQ$的角平分线上

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