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楼主: 陈九章

[讨论] 一个新发现的几何定理(老封)

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发表于 2019-4-11 08:51:17 | 显示全部楼层
另外我们也可以从hejoseph在圆锥曲线的作图问题的定义方法,就是两个无穷远圆点(1:i:0),(1:-i:0)引出的圆锥曲线的两条迷向切线的两两交点为这条圆锥曲线的焦点。显然每个圆点可以引出两条迷向切线,它们两两相交实际产生了四个交点,其中两个实交点就是我们平时的焦点,而另外两个虚交点就是幽灵焦点。
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发表于 2019-4-11 09:11:07 | 显示全部楼层
轮子重新构造的差不多,我们需要寻找一下前人是怎么讨论这个轮子的:
关于虚数焦点,通过谷歌总算找到了一篇文章 : https://www.jstor.org/stable/362 ... a_info_tab_contents
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发表于 2019-4-11 11:32:57 | 显示全部楼层
抛物线关于一点的配极像的公式我们可以通过另一种方法来计算。
由于我们得知和抛物线有公共焦点和对应准线的圆锥曲线C向抛物线引出的两条切线的张角2t固定不变,
所以在这个圆锥曲线C上任意选择一点O为圆心做抛物线的配极像,那么配极像的原心率e满足$e^2=2/(1+cos(2t)$ 。
我们如果想象将O点在圆锥曲线C上移动向无穷远点,那么这时一条切线会越来越和渐近线平行,另外一条切线会越来越接近抛物线的对称轴方向(水平方向),于是俩切线的夹角会逼近圆锥曲线C的一条渐近线和水平线的夹角。由于实际上这个夹角不变,所以我们知道这个夹角正好等于曲线C两条渐近线夹角的一半,也就是$1/k^2=2/(1+cos(4t))=1/{cos(2t)^2}=1/{(2/{e^2}-1)^2}$
所以$k=+-(2/{e^2}-1)$,即$e^2=2/{1+-k}$
而这个过程也说明了抛物线关于曲线C上任意一点O的配极像的两条渐近线夹角正好是曲线C两条渐近线夹角的一半(或者一半的补角)。
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 楼主| 发表于 2019-4-13 14:09:12 | 显示全部楼层
老封.png
【注】老封在何万程老师帮助下,得到上述定理。

点评

匆忙上图,请mathe老师及各位老师原谅!  发表于 2019-4-14 07:56
什么是九点曲线?如果这不是通用术语,就这样硬生生的贴在这里,我觉得是很不礼貌的行为。  发表于 2019-4-13 14:43
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发表于 2019-4-13 20:10:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-4-13 20:12 编辑
陈九章 发表于 2019-4-13 14:09
【注】老封在何万程老师帮助下,得到上述定理。


九点曲线  应该是有这个说法的(但是好像不是很通用)
可以参见这个帖子:
[几何] 过四定点的圆锥曲线的中心轨迹?
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5508

另外,也感谢何版主的分享!

何版主所求出的 四边形\(\,ABCD\,\,\)的九点曲线离心率\(\,e\,\),其形式也好漂亮!
\begin{align*}
\dfrac{e^4}{\left(e^2-2\right)^2}=\dfrac{\cos^2\left(A+B\right)+\cos^2\left(B+C\right)-2\cos\left(A+B\right)\cos\left(B+C\right)\cos\left(A+C\right)}{\sin^2\left(A+C\right)}
\end{align*}
【注】:四边形的九点曲线 就是 过四定点圆锥曲线其中心的轨迹
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发表于 2019-4-13 20:44:45 来自手机 | 显示全部楼层
这个名字是怎么取的,名字好奇怪。另外,过四定点圆锥曲线中心即无穷远直线关于这圆锥曲线系的极点轨迹不是应该是直线而不是二次曲线吗?
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发表于 2019-4-13 21:21:39 来自手机 | 显示全部楼层
的确这个题目我弄错了。设过四定点的圆锥曲线系可以用方程$X'(M+Nt)X=0$表示。
那么给定一个定点$X_0$,它关于上面圆锥曲线系的极线的坐标为$X'_0(M+Nt)$,这显然是一个一次线束。所以我理所当然的认为固定直线关于上面圆锥曲线系的极点轨迹必然是一次点列,也就是直线了。
但是,对于给定直线$Y_0$,它关于上面圆锥曲线系的极点坐标是$Y'_0(M+Nt)^{-1}$,所以不是直线。
由于我们可以存在相似变换将M,N同时变化为对角阵,不凡设N为单位阵,$M=diag{u,v,w},Y'_0=[a,b,c]$,于是我们得出这个极点射影坐标为$(a/(u+t),b/(v+t),c/(w+t))$,去分母即得到三个坐标都是参数t的二次函数,所以的确为圆锥曲线。
另外对这个曲线作图验证,同样会出现在曲线上取相近的五个点,过这五点圆锥曲线和原曲线不重合现象。说明这种情况的确Geogebra之类软件即使精度再高,也解决不了这种误差放大现象。
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发表于 2019-4-13 22:40:05 来自手机 | 显示全部楼层
还是要找英文文献:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nine-point_conic
另外,制作复杂的公式还是比较容易的,而且可以不计其数的构造。但是如果看不到其用途;,那这些公式就基本上没有意义。
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发表于 2019-4-15 11:14:59 | 显示全部楼层
由离心率公式可以看出,只要四边形内角对应相等(不一定是相似的),过四点的圆锥曲线的中心的轨迹是相似的圆锥曲线。

点评

这个公式深刻而优美,得之不易。点赞!  发表于 2019-4-30 15:37
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发表于 2019-4-15 12:52:32 | 显示全部楼层
突然发现一个问题,二次曲线只有五个自由度,平面是任意四个点有八个自由度。所以我们自然可以猜测,对于任意二次曲线,我们都可以找到四个点,让通过四个点的二次曲线中心的轨迹正好是这条二次曲线。
同理,对于真正的九点曲线,也就是过四点形六个边的中点和三个对边交点的曲线,也应该可以取遍所有的二次曲线。
所以因此将这两种曲线关联起来其实毫无理由。

点评

直到了,这里的九点线关联起来是因为两者使用的是同一个四点形。  发表于 2019-4-15 14:09
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