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发表于 2020-9-23 18:53:49
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既然消元量太大造成我们无法进一步得到最终结果，但我们可以退一步：
我现在提供一个新的视角来分析这个问题：即用渐近分析的方法来求解近似解
由于最小值点靠近外心，我们可以直接设
\(x=R+\frac{u1}{R}+\frac{v1}{R^2}\)
\(y=R+\frac{u2}{R}+\frac{v2}{R^2}\)
\(z=R+\frac{-u1-u2}{R}+\frac{-v1-v2}{R^2}\)
然后代入约束条件：
\((-a^2 + y^2 + z^2)^2x^2 + (-b^2 + x^2 + z^2)^2y^2 + (-c^2 + x^2 + y^2)^2z^2 - (-a^2 + y^2 + z^2)(-b^2 + x^2 + z^2)(-c^2 + x^2 + y^2) - 4x^2y^2z^2=0\)
代入上式，并按\(R\)渐近展开整理得,为方便输入记\(R=\frac{1}{t}\)
\((2a^4u1v1 - 2a^2b^2u1v1 - 2a^2b^2u2v2 - 4a^2c^2u1v1 - 2a^2c^2u1v2 - 2a^2c^2u2v1 - 2a^2c^2u2v2 + 2b^4u2v2 - 2b^2c^2u1v1 - 2b^2c^2u1v2 - 2b^2c^2u2v1 - 4b^2c^2u2v2 + 2c^4u1v1 + 2c^4u1v2 + 2c^4u2v1 + 2c^4u2v2 + 12a^2u1^2v1 - 2a^2u1^2v2 - 4a^2u1u2v1 - 4a^2u1u2v2 - 2a^2u2^2v1 - 2b^2u1^2v2 - 4b^2u1u2v1 - 4b^2u1u2v2 - 2b^2u2^2v1 + 12b^2u2^2v2 - 12c^2u1^2v1 - 14c^2u1^2v2 - 28c^2u1u2v1 - 28c^2u1u2v2 - 14c^2u2^2v1 - 12c^2u2^2v2)t^3 + (a^4u1^2 - a^2b^2u1^2 - a^2b^2u2^2 - 2a^2c^2u1^2 - 2a^2c^2u1u2 - a^2c^2u2^2 + b^4u2^2 - b^2c^2u1^2 - 2b^2c^2u1u2 - 2b^2c^2u2^2 + c^4u1^2 + 2c^4u1u2 + c^4u2^2 + 4a^2u1^3 - 2a^2u1^2u2 - 2a^2u1u2^2 - 2b^2u1^2u2 - 2b^2u1u2^2 + 4b^2u2^3 - 4c^2u1^3 - 14c^2u1^2u2 - 14c^2u1u2^2 - 4c^2u2^3 + 8a^2v1^2 - 4a^2v1v2 - 4a^2v2^2 - 4b^2v1^2 - 4b^2v1v2 + 8b^2v2^2 + 8c^2v1^2 + 20c^2v1v2 + 8c^2v2^2)t^2 + (2a^4v1 - 2a^2b^2v1 - 2a^2b^2v2 + 2a^2c^2v2 + 2b^4v2 + 2b^2c^2v1 - 2c^4v1 - 2c^4v2 + 16a^2u1v1 - 4a^2u1v2 - 4a^2u2v1 - 8a^2u2v2 - 8b^2u1v1 - 4b^2u1v2 - 4b^2u2v1 + 16b^2u2v2 + 16c^2u1v1 + 20c^2u1v2 + 20c^2u2v1 + 16c^2u2v2)t + 2a^4u1 - 2a^2b^2u1 - 2a^2b^2u2 + 2a^2c^2u2 + 2b^4u2 + 2c^2b^2u1 - 2c^4u1 - 2c^4u2 + 8a^2u1^2 - 4a^2u1u2 - 4a^2u2^2 - 4b^2u1^2 - 4b^2u1u2 + 8b^2u2^2 + 8c^2u1^2 + 20c^2u1u2 + 8c^2u2^2=0\)
我们分别取\(t\)的所有项系数为0得到
A1: \( 2a^4u1 - 2a^2b^2u1 - 2a^2b^2u2 + 2a^2c^2u2 + 2b^4u2 + 2b^2c^2u1 - 2c^4u1 - 2c^4u2 + 8a^2u1^2 - 4a^2u1u2 - 4a^2u2^2 - 4b^2u1^2 - 4b^2u1u2 + 8b^2u2^2 + 8c^2u1^2 + 20c^2u1u2 + 8c^2u2^2, 2a^4v1 - 2a^2b^2v1 - 2a^2b^2v2 + 2a^2c^2v2 + 2b^4v2 + 2b^2c^2v1 - 2c^4v1 - 2c^4v2 + 16a^2u1v1 - 4a^2u1v2 - 4a^2u2v1 - 8a^2u2v2 - 8b^2u1v1 - 4b^2u1v2 - 4b^2u2v1 + 16b^2u2v2 + 16c^2u1v1 + 20c^2u1v2 + 20c^2u2v1 + 16c^2u2v2=0\)
A2: \(a^4u1^2 - a^2b^2u1^2 - a^2b^2u2^2 - 2a^2c^2u1^2 - 2a^2c^2u1u2 - a^2c^2u2^2 + b^4u2^2 - b^2c^2u1^2 - 2b^2c^2u1u2 - 2b^2c^2u2^2 + c^4u1^2 + 2c^4u1u2 + c^4u2^2 + 4a^2u1^3 - 2a^2u1^2u2 - 2a^2u1u2^2 - 2b^2u1^2u2 - 2b^2u1u2^2 + 4b^2u2^3 - 4c^2u1^3 - 14c^2u1^2u2 - 14c^2u1u2^2 - 4c^2u2^3 + 8a^2v1^2 - 4a^2v1v2 - 4a^2v2^2 - 4b^2v1^2 - 4b^2v1v2 + 8b^2v2^2 + 8c^2v1^2 + 20c^2v1v2 + 8c^2v2^2=0\)
A3: \( 2a^4u1v1 - 2a^2b^2u1v1 - 2a^2b^2u2v2 - 4a^2c^2u1v1 - 2a^2c^2u1v2 - 2a^2c^2u2v1 - 2a^2c^2u2v2 + 2b^4u2v2 - 2b^2c^2u1v1 - 2b^2c^2u1v2 - 2b^2c^2u2v1 - 4b^2c^2u2v2 + 2c^4u1v1 + 2c^4u1v2 + 2c^4u2v1 + 2c^4u2v2 + 12a^2u1^2v1 - 2a^2u1^2v2 - 4a^2u1u2v1 - 4a^2u1u2v2 - 2a^2u2^2v1 - 2b^2u1^2v2 - 4b^2u1u2v1 - 4b^2u1u2v2 - 2b^2u2^2v1 + 12b^2u2^2v2 - 12c^2u1^2v1 - 14c^2u1^2v2 - 28c^2u1u2v1 - 28c^2u1u2v2 - 14c^2u2^2v1 - 12c^2u2^2v2=0\)
另外需要求\(k=\frac{\sqrt{2(y^2+z^2)-a^2}+\sqrt{2(x^2+z^2)-b^2}+\sqrt{2(x^2+y^2)-c^2}}{2(x+y+z)}\)极值：
也将其\(x,y,z\)的参数式代入上式并按R渐近展开得到
\(k=1-\frac{a^2+b^2+c^2}{24}t+B_1t^2+B_2t^4+B_3t^5+...\)
其中
\(B1=-1/384c^4 + 1/4u2^2 - 1/384b^4 - 1/384a^4 - 1/48a^2u1 - 1/48b^2u2 + 1/48c^2u1 + 1/48c^2u2 + 1/4u1u2 + 1/4u1^2\)
\(B2=1/2u2v2 - 1/48a^2v1 - 1/48v2b^2 + 1/48c^2v2 + 1/48c^2v1 + 1/4u1v2 + 1/4u2v1 + 1/2u1v1\)
显然\(k\)极值等价于\(B1,B2\)的极值，利用拉格朗日乘子法得到：
在A1条件下求B1的极值：
[(2*a^4 - 2*a^2*b^2 + 2*b^2*c^2 - 2*c^4 + 16*a^2*u1 - 4*a^2*u2 - 8*b^2*u1 - 4*b^2*u2 + 16*c^2*u1 + 20*c^2*u2)*t0 - a^2/48 + c^2/48 + u2/4 + u1/2, (-2*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + 2*b^4 - 2*c^4 - 4*a^2*u1 - 8*a^2*u2 - 4*b^2*u1 + 16*b^2*u2 + 20*c^2*u1 + 16*c^2*u2)*t0 + u2/2 - b^2/48 + c^2/48 + u1/4, 2*a^4*u1 - 2*a^2*b^2*u1 - 2*a^2*b^2*u2 + 2*a^2*c^2*u2 + 2*b^4*u2 + 2*b^2*c^2*u1 - 2*c^4*u1 - 2*c^4*u2 + 8*a^2*u1^2 - 4*a^2*u1*u2 - 4*a^2*u2^2 - 4*b^2*u1^2 - 4*b^2*u1*u2 + 8*b^2*u2^2 + 8*c^2*u1^2 + 20*c^2*u1*u2 + 8*c^2*u2^2]
在A2条件下求B2的极值：
[u2*v2/2 - a^2*v1/48 - v2*b^2/48 + c^2*v2/48 + c^2*v1/48 + u1*v2/4 + u2*v1/4 + u1*v1/2,t1*(2*a^4 - 2*a^2*b^2 + 2*b^2*c^2 - 2*c^4 + 16*a^2*u1 - 4*a^2*u2 - 8*b^2*u1 - 4*b^2*u2 + 16*c^2*u1 + 20*c^2*u2) - a^2/48 + c^2/48 + u2/4 + u1/2，t1*(-2*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + 2*b^4 - 2*c^4 - 4*a^2*u1 - 8*a^2*u2 - 4*b^2*u1 + 16*b^2*u2 + 20*c^2*u1 + 16*c^2*u2) + u2/2 - b^2/48 + c^2/48 + u1/4]
最终得到：
\(u1\)满足的代数方程：
-192*a^12*b^2*c^2 + 424*a^10*b^4*c^2 + 424*a^10*b^2*c^4 - 944*a^8*b^6*c^2 + 112*a^8*b^4*c^4 - 944*a^8*b^2*c^6 + 1568*a^6*b^8*c^2 - 472*a^6*b^6*c^4 - 472*a^6*b^4*c^6 + 1568*a^6*b^2*c^8 - 800*a^4*b^10*c^2 - 1784*a^4*b^8*c^4 + 3680*a^4*b^6*c^6 - 1784*a^4*b^4*c^8 - 800*a^4*b^2*c^10 - 264*a^2*b^12*c^2 + 2104*a^2*b^10*c^4 - 1632*a^2*b^8*c^6 - 1632*a^2*b^6*c^8 + 2104*a^2*b^4*c^10 - 264*a^2*b^2*c^12 + 888*a^8*b^8 + 888*a^8*c^8 - 1096*a^6*b^10 - 1096*a^6*c^10 + 744*a^4*b^12 + 744*a^4*c^12 - 208*a^2*b^14 - 208*a^2*c^14 + 208*b^14*c^2 - 480*b^12*c^4 - 208*b^10*c^6 + 960*b^8*c^8 - 208*b^6*c^10 + (-746496*a^8 + 2239488*a^6*b^2 + 2239488*a^6*c^2 - 2985984*a^4*b^4 - 746496*a^4*b^2*c^2 - 2985984*a^4*c^4 + 2239488*a^2*b^6 - 746496*a^2*b^4*c^2 - 746496*a^2*b^2*c^4 + 2239488*a^2*c^6 - 746496*b^8 + 2239488*b^6*c^2 - 2985984*b^4*c^4 + 2239488*b^2*c^6 - 746496*c^8)*u1^4 + (-269568*a^10 + 850176*a^8*b^2 + 850176*a^8*c^2 - 1109376*a^6*b^4 - 705024*a^6*b^2*c^2 - 1109376*a^6*c^4 + 881280*a^4*b^6 + 31104*a^4*b^4*c^2 + 31104*a^4*b^2*c^4 + 881280*a^4*c^6 - 487296*a^2*b^8 + 352512*a^2*b^6*c^2 - 62208*a^2*b^4*c^4 + 352512*a^2*b^2*c^6 - 487296*a^2*c^8 + 134784*b^10 - 362880*b^8*c^2 + 228096*b^6*c^4 + 228096*b^4*c^6 - 362880*b^2*c^8 + 134784*c^10)*u1^3 + (-26640*a^12 + 79344*a^10*b^2 + 79344*a^10*c^2 - 82656*a^8*b^4 - 51408*a^8*b^2*c^2 - 82656*a^8*c^4 + 46080*a^6*b^6 - 46368*a^6*b^4*c^2 - 46368*a^6*b^2*c^4 + 46080*a^6*c^6 - 52848*a^4*b^8 + 24048*a^4*b^6*c^2 + 207360*a^4*b^4*c^4 + 24048*a^4*b^2*c^6 - 52848*a^4*c^8 + 61200*a^2*b^10 - 54000*a^2*b^8*c^2 - 39456*a^2*b^6*c^4 - 39456*a^2*b^4*c^6 - 54000*a^2*b^2*c^8 + 61200*a^2*c^10 - 24480*b^12 + 32256*b^10*c^2 + 24480*b^8*c^4 - 64512*b^6*c^6 + 24480*b^4*c^8 + 32256*b^2*c^10 - 24480*c^12)*u1^2 + (-800*a^14 + 2160*a^12*b^2 + 2160*a^12*c^2 - 272*a^10*b^4 - 3008*a^10*b^2*c^2 - 272*a^10*c^4 - 7424*a^8*b^6 + 4816*a^8*b^4*c^2 + 4816*a^8*b^2*c^4 - 7424*a^8*c^6 + 13312*a^6*b^8 - 13152*a^6*b^6*c^2 + 5440*a^6*b^4*c^4 - 13152*a^6*b^2*c^6 + 13312*a^6*c^8 - 7184*a^4*b^10 + 2368*a^4*b^8*c^2 + 5584*a^4*b^6*c^4 + 5584*a^4*b^4*c^6 + 2368*a^4*b^2*c^8 - 7184*a^4*c^10 - 1872*a^2*b^12 + 13696*a^2*b^10*c^2 - 15920*a^2*b^8*c^4 + 6144*a^2*b^6*c^6 - 15920*a^2*b^4*c^8 + 13696*a^2*b^2*c^10 - 1872*a^2*c^12 + 2080*b^14 - 6624*b^12*c^2 + 3040*b^10*c^4 + 1504*b^8*c^6 + 1504*b^6*c^8 + 3040*b^4*c^10 - 6624*b^2*c^12 + 2080*c^14)*u1 - 480*b^4*c^12 + 208*b^2*c^14 + 96*a^12*b^4 + 96*a^12*c^4 - 424*a^10*b^6 - 424*a^10*c^6=0
\(u2\)满足的代数方程：
-264*a^12*b^2*c^2 - 800*a^10*b^4*c^2 + 2104*a^10*b^2*c^4 + 1568*a^8*b^6*c^2 - 1784*a^8*b^4*c^4 - 1632*a^8*b^2*c^6 - 944*a^6*b^8*c^2 - 472*a^6*b^6*c^4 + 3680*a^6*b^4*c^6 - 1632*a^6*b^2*c^8 + 424*a^4*b^10*c^2 + 112*a^4*b^8*c^4 - 472*a^4*b^6*c^6 - 1784*a^4*b^4*c^8 + 2104*a^4*b^2*c^10 - 192*a^2*b^12*c^2 + 424*a^2*b^10*c^4 - 944*a^2*b^8*c^6 + 1568*a^2*b^6*c^8 - 800*a^2*b^4*c^10 - 264*a^2*b^2*c^12 + 888*a^8*b^8 + 960*a^8*c^8 - 424*a^6*b^10 - 208*a^6*c^10 + 96*a^4*b^12 - 480*a^4*c^12 + 208*a^2*c^14 + 96*b^12*c^4 - 424*b^10*c^6 + 888*b^8*c^8 - 1096*b^6*c^10 - 208*a^14*b^2 + 208*a^14*c^2 + (-746496*a^8 + 2239488*a^6*b^2 + 2239488*a^6*c^2 - 2985984*a^4*b^4 - 746496*a^4*b^2*c^2 - 2985984*a^4*c^4 + 2239488*a^2*b^6 - 746496*a^2*b^4*c^2 - 746496*a^2*b^2*c^4 + 2239488*a^2*c^6 - 746496*b^8 + 2239488*b^6*c^2 - 2985984*b^4*c^4 + 2239488*b^2*c^6 - 746496*c^8)*u2^4 + (134784*a^10 - 487296*a^8*b^2 - 362880*a^8*c^2 + 881280*a^6*b^4 + 352512*a^6*b^2*c^2 + 228096*a^6*c^4 - 1109376*a^4*b^6 + 31104*a^4*b^4*c^2 - 62208*a^4*b^2*c^4 + 228096*a^4*c^6 + 850176*a^2*b^8 - 705024*a^2*b^6*c^2 + 31104*a^2*b^4*c^4 + 352512*a^2*b^2*c^6 - 362880*a^2*c^8 - 269568*b^10 + 850176*b^8*c^2 - 1109376*b^6*c^4 + 881280*b^4*c^6 - 487296*b^2*c^8 + 134784*c^10)*u2^3 + (-24480*a^12 + 61200*a^10*b^2 + 32256*a^10*c^2 - 52848*a^8*b^4 - 54000*a^8*b^2*c^2 + 24480*a^8*c^4 + 46080*a^6*b^6 + 24048*a^6*b^4*c^2 - 39456*a^6*b^2*c^4 - 64512*a^6*c^6 - 82656*a^4*b^8 - 46368*a^4*b^6*c^2 + 207360*a^4*b^4*c^4 - 39456*a^4*b^2*c^6 + 24480*a^4*c^8 + 79344*a^2*b^10 - 51408*a^2*b^8*c^2 - 46368*a^2*b^6*c^4 + 24048*a^2*b^4*c^6 - 54000*a^2*b^2*c^8 + 32256*a^2*c^10 - 26640*b^12 + 79344*b^10*c^2 - 82656*b^8*c^4 + 46080*b^6*c^6 - 52848*b^4*c^8 + 61200*b^2*c^10 - 24480*c^12)*u2^2 + (2080*a^14 - 1872*a^12*b^2 - 6624*a^12*c^2 - 7184*a^10*b^4 + 13696*a^10*b^2*c^2 + 3040*a^10*c^4 + 13312*a^8*b^6 + 2368*a^8*b^4*c^2 - 15920*a^8*b^2*c^4 + 1504*a^8*c^6 - 7424*a^6*b^8 - 13152*a^6*b^6*c^2 + 5584*a^6*b^4*c^4 + 6144*a^6*b^2*c^6 + 1504*a^6*c^8 - 272*a^4*b^10 + 4816*a^4*b^8*c^2 + 5440*a^4*b^6*c^4 + 5584*a^4*b^4*c^6 - 15920*a^4*b^2*c^8 + 3040*a^4*c^10 + 2160*a^2*b^12 - 3008*a^2*b^10*c^2 + 4816*a^2*b^8*c^4 - 13152*a^2*b^6*c^6 + 2368*a^2*b^4*c^8 + 13696*a^2*b^2*c^10 - 6624*a^2*c^12 - 800*b^14 + 2160*b^12*c^2 - 272*b^10*c^4 - 7424*b^8*c^6 + 13312*b^6*c^8 - 7184*b^4*c^10 - 1872*b^2*c^12 + 2080*c^14)*u2 + 744*b^4*c^12 - 208*b^2*c^14 + 744*a^12*b^4 - 480*a^12*c^4 - 1096*a^10*b^6 - 208*a^10*c^6=0
\(v1=0,v2=0\)
例如：
\(a=10,b=9,c=6,R=5.063118092,t0 = 0.0001883263821, u1 = -0.3190246465, u2 = 1.038454388,x = 5.000108571, y = 5.268219843, z = 4.921025862,k=0.4772454312\)
\(a=5,b=4,c=3,R=2.5,t0 = 0.0004802375510, u1 = -0.01075891494, u2 = 0.2493186010, x = 2.495696434, y = 2.599727440, z = 2.404576126,k=0.4824634555\) |
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楼主: lsr314
IP卡
狗仔卡
发表于 2020-9-19 21:10:52
)可以数值计算得较高精度)
显身卡
最小值相同,但最小值点不同,是误差?还是我的计算有缺陷?
