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楼主: lsr314

[提问] 点到三角形三边中点距离之和与到三个顶点距离之和的比值

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发表于 2020-9-19 21:10:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-19 21:21 编辑
lsr314 发表于 2020-9-18 21:52
试了几个例子,即使是直角三角形的时候,$P$一般也不是外心,只是有时离外心很近。
例如,当直角三角形的 ...


你说的对,有许多情形外心不是最小值点
验算了你的例子,确实,外心不是最小值点
但你给的(x,y)计算结果和我的不同,我算错了嘛?

验算lsr314例子(直角边5 ,1)
例 15:11.3099度_5.09902_78.6901度_例15直角三角形
P=T {2.42799,0.342129}            L=0.401299(lsr314 数值不同?)
P=D {5.00096,0.490289}            L=0.838102
P=E {2.54951,0}                   L=0.392232(最长边中心点)
P=H {2.50048,0.245145}            L=0.39456
P=F {2.45145,0.490289}            L=0.396422
P=O {3.33397,0.326859}            L=0.5
P=O1 {2.54951,2.22045*10^-16}     L=0.392232(外心)
A->D 序号=53 x= 2.6005 y= 0.25495 L=0.391396(接近最小值)
最小值点= {2.54951,0} L=m/n最小值= 0.392232 公式错,数值计算!!!
粗略计算)可以数值计算得较高精度)
x= 2.6005 y= 0.25495 L=0.391396(接近最小值)

3顶点3中点_例15_11.3099度_0.392232-20200916.png


演示外心不是最小值点

演示外心不是最小值点
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-20 11:05:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-20 13:53 编辑
mathe 发表于 2020-9-19 14:17
只是比较接近外心,但是应该不是外心。
通过GeoGebra做图,取A(-2.88,2.66), B(-5.06,-0.7), C(0.88.-0.74 ...


验算和绘图 mathe21例 0:a=5.94013 b= 5.06928 c= 4.00525
改进了图形的标注
P=mathe21# {-2.11604,-0.301737}     L=0.481095(mathe21#,给出的样点,L小于外心点的L,外心附近的黑点)
P=D x= -2.09 y=-0.72                L=0.482112(最长边中心点)
P=E {-1.,0.96}                      L=0.525903
P=H {-2.485,0.97}                   L=0.548489
P=F {-3.97,0.98}                    L=0.601528
P=O {-2.35333,0.406667}             L=0.5(重心)
P=O1 {-2.08678,-0.241851}           L=0.481264(外心,图中红点)
公式计算最小值点= {2.53464,1.62035} L=m/n最小值= 0.481264 错
验算结果与mathe的完全相同
此例表明该例最小值点不在外心或最长边中心点,接近外心
最小值点不难数值求解

参见图形:
3顶点3中点_mathe例_a5.94013b5.06928c4.00525-20200920.png

mathel21#例子

mathel21#例子
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发表于 2020-9-20 15:51:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-20 16:30 编辑
dlpg070 发表于 2020-9-20 11:05
验算和绘图 mathe21例 0:a=5.94013 b= 5.06928 c= 4.00525
改进了图形的标注
P=mathe21# {-2.11604,- ...


求L=m/n的最小值用Minimize很轻松的解决了

fL[x,y]为3点坐标格式改为:
fL[x_,y_]:=(Sqrt[(-2 x+x1+x2)^2+(-2 y+y1+y2)^2]+Sqrt[(-2 x+x1+x3)^2+(-2 y+y1+y3)^2]+Sqrt[(-2 x+x2+x3)^2+(-2 y+y2+y3)^2])/(2 (Sqrt[(x-x1)^2+(y-y1)^2]+Sqrt[(x-x2)^2+(y-y2)^2]+Sqrt[(x-x3)^2+(y-y3)^2]))
不用那个有问题的fP[]了,改用 Minimize
mathe例子的计算结果:

mathe21#  {-2.1160412915557, -0.3017366751079} Lmin = 0.4810946700579
最小值点  {-2.1076976415416, -0.3553746617573} Lmin = 0.4810490654802

mathe21#给的样点,非常接近最小值
不知二者之差是否只是计算误差?

点评

高!  发表于 2020-9-21 11:26
我只是做图随便找了一个比外心更好的点,不是最优点。由于外心结果已经很接近最优值了,所以找到的点结果和最优点比较接近也合理  发表于 2020-9-21 10:51
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发表于 2020-9-21 08:11:02 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-9-18 21:52
试了几个例子,即使是直角三角形的时候,$P$一般也不是外心,只是有时离外心很近。
例如,当直角三角形的 ...

重算lsr314例题
当直角三角形的直角边a=5 b=1时,外心为斜边中点,坐标为(x,y)=(5/2,1/2),对应的比值为Sqrt[2/13]=0.392232
而当x=2.42799 y= 0.342129时,对应的比值为0.390927

lsr314  :{2.42799,0.342129} L=0.390927 (我计算 L=0.401299 )
最小值点:{2.58916,0.168928} L=0.390927
我的结果与slr314比较最小值相同,但最小值点不同,是误差?还是我的计算有缺陷?
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发表于 2020-9-21 11:23:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-21 11:33 编辑
数学星空 发表于 2020-9-14 22:46
设三角形三个顶点\(A[x_1,y_1],B[x_2,y_2],C[x_3,y_3]\),三条边\(BC,AC,AB\)上三个点\(D[x_4,y_4],E[x_5,y_ ...


利用最近编写的代码,求解如下,请审查指正

数学星空例题 a=5 b=4 c=3 k1=1 k2=2 k3=1
P=D {5/2,0}                   L=0.48553 (最长边中心)
P=E {43/15,8/5}               L=0.500952
P=H {59/20,3/5}               L=0.534091
P=F {9/10,6/5}                L=0.551008(数学星空的最小值点 )
P=O1 {5/2,0}                  L=0.48553 (外心,与最长边中心重合)
P=最小值点 {2.29458,0.739849} L=0.470558
数学星空的最小值点: {0.9, 1.2}         L=0.551008
  我计算的最小值点: {2.29458,0.739849} L=0.470558
数学星空的公式很漂亮,是我的计算的基础,收益匪浅,但最小值求解显然有误,对吗?
参见图形文件: 黑点是最小值点,在重心附近
3顶点3中点_数学星空例_a5_b4_c3_0.470558-20200915.png


数学天空的例子

数学天空的例子
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发表于 2020-9-21 18:58:58 | 显示全部楼层
重新计算了一下:对于\(a = 5, b = 4, c = 3, k1 = 1, k2 = 2, k3 = 1\)

可以算得:\(x = 2.2945789266192951250, y = 0.73984926677701109713 ,k=0.47055754810499682210\)

123.gif

对于本贴问题就是要将下面7个方程消元{x1,y1,z1,x,y,z}可得到k的代数方程:

{2*k*(x + y + z) - x1 - y1 - z1, (-a^2 + y^2 + z^2)^2*x^2 + (-b^2 + x^2 + z^2)^2*y^2 + (-c^2 + x^2 + y^2)^2*z^2 - (-a^2 + y^2 + z^2)*(-b^2 + x^2 + z^2)*(-c^2 + x^2 + y^2) - 4*x^2*y^2*z^2, a^2 + x1^2 - 2*y^2 - 2*z^2, b^2 - 2*x^2 + y1^2 - 2*z^2, c^2 - 2*x^2 - 2*y^2 + z1^2, 2*a^4*x^2*x1*z*z1 + 2*a^4*x^2*y1*z*z1 - a^4*x*x1^2*y1*z1 + 2*a^4*x*x1*y*z*z1 - a^4*x*x1*y1^2*z1 - a^4*x*x1*y1*z1^2 + 2*a^4*x*x1*z^2*z1 + 2*a^4*x*y*y1*z*z1 + 2*a^4*x*y1*z^2*z1 - 2*a^2*b^2*x^2*x1*z*z1 - 2*a^2*b^2*x^2*y1*z*z1 + a^2*b^2*x*x1^2*y1*z1 - 2*a^2*b^2*x*x1*y*z*z1 + a^2*b^2*x*x1*y1^2*z1 + a^2*b^2*x*x1*y1*z1^2 - 2*a^2*b^2*x*x1*z^2*z1 - 2*a^2*b^2*x*y*y1*z*z1 - 2*a^2*b^2*x*y1*z^2*z1 + 2*a^2*c^2*x^2*x1*y1*z - 2*a^2*c^2*x^2*y1*z*z1 + a^2*c^2*x*x1^2*y1*z1 + 2*a^2*c^2*x*x1*y*y1*z + a^2*c^2*x*x1*y1^2*z1 + 2*a^2*c^2*x*x1*y1*z^2 + a^2*c^2*x*x1*y1*z1^2 - 2*a^2*c^2*x*y*y1*z*z1 - 2*a^2*c^2*x*y1*z^2*z1 - a^2*c^2*x1^2*y1*z*z1 - a^2*c^2*x1*y1^2*z*z1 - a^2*c^2*x1*y1*z*z1^2 + 2*a^2*x^4*x1*y1*z + 6*a^2*x^4*x1*z*z1 + 4*a^2*x^4*y1*z*z1 - 2*a^2*x^3*x1^2*y1*z1 + 2*a^2*x^3*x1*y*y1*z + 6*a^2*x^3*x1*y*z*z1 - 2*a^2*x^3*x1*y1^2*z1 + 2*a^2*x^3*x1*y1*z^2 - 2*a^2*x^3*x1*y1*z1^2 + 6*a^2*x^3*x1*z^2*z1 + 4*a^2*x^3*y*y1*z*z1 + 4*a^2*x^3*y1*z^2*z1 - a^2*x^2*x1^2*y1*z*z1 - 2*a^2*x^2*x1*y^2*y1*z - 4*a^2*x^2*x1*y^2*z*z1 - a^2*x^2*x1*y1^2*z*z1 - a^2*x^2*x1*y1*z*z1^2 - 2*a^2*x^2*x1*z^3*z1 - 2*a^2*x^2*y^2*y1*z*z1 - 2*a^2*x^2*y1*z^3*z1 + a^2*x*x1^2*y^2*y1*z1 + a^2*x*x1^2*y1*z^2*z1 - 2*a^2*x*x1*y^3*y1*z - 4*a^2*x*x1*y^3*z*z1 + a^2*x*x1*y^2*y1^2*z1 - 2*a^2*x*x1*y^2*y1*z^2 + a^2*x*x1*y^2*y1*z1^2 - 4*a^2*x*x1*y^2*z^2*z1 - 2*a^2*x*x1*y*z^3*z1 + a^2*x*x1*y1^2*z^2*z1 + a^2*x*x1*y1*z^2*z1^2 - 2*a^2*x*x1*z^4*z1 - 2*a^2*x*y^3*y1*z*z1 - 2*a^2*x*y^2*y1*z^2*z1 - 2*a^2*x*y*y1*z^3*z1 - 2*a^2*x*y1*z^4*z1 + a^2*x1^2*y^2*y1*z*z1 + a^2*x1*y^2*y1^2*z*z1 + a^2*x1*y^2*y1*z*z1^2 + 2*b^2*c^2*x^2*x1*y1*z + 2*b^2*c^2*x^2*x1*z*z1 + 2*b^2*c^2*x*x1*y*y1*z + 2*b^2*c^2*x*x1*y*z*z1 + 2*b^2*c^2*x*x1*y1*z^2 + 2*b^2*c^2*x*x1*z^2*z1 - b^2*c^2*x1^2*y1*z*z1 - b^2*c^2*x1*y1^2*z*z1 - 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c^2*x^2*x1^2*y1*z*z1 + 2*c^2*x^2*x1*y^2*y1*z + 4*c^2*x^2*x1*y^2*z*z1 - c^2*x^2*x1*y1^2*z*z1 - 4*c^2*x^2*x1*y1*z^3 - c^2*x^2*x1*y1*z*z1^2 - 6*c^2*x^2*x1*z^3*z1 + 2*c^2*x^2*y^2*y1*z*z1 - 2*c^2*x^2*y1*z^3*z1 - c^2*x*x1^2*y^2*y1*z1 + c^2*x*x1^2*y1*z^2*z1 + 2*c^2*x*x1*y^3*y1*z + 4*c^2*x*x1*y^3*z*z1 - c^2*x*x1*y^2*y1^2*z1 + 2*c^2*x*x1*y^2*y1*z^2 - c^2*x*x1*y^2*y1*z1^2 + 4*c^2*x*x1*y^2*z^2*z1 - 4*c^2*x*x1*y*y1*z^3 - 6*c^2*x*x1*y*z^3*z1 + c^2*x*x1*y1^2*z^2*z1 - 4*c^2*x*x1*y1*z^4 + c^2*x*x1*y1*z^2*z1^2 - 6*c^2*x*x1*z^4*z1 + 2*c^2*x*y^3*y1*z*z1 + 2*c^2*x*y^2*y1*z^2*z1 - 2*c^2*x*y*y1*z^3*z1 - 2*c^2*x*y1*z^4*z1 - c^2*x1^2*y^2*y1*z*z1 + 2*c^2*x1^2*y1*z^3*z1 - c^2*x1*y^2*y1^2*z*z1 - c^2*x1*y^2*y1*z*z1^2 + 2*c^2*x1*y1^2*z^3*z1 + 2*c^2*x1*y1*z^3*z1^2, 2*a^4*x^2*x1*y*y1 + 2*a^4*x^2*y*y1*z1 - a^4*x*x1^2*y1*z1 + 2*a^4*x*x1*y^2*y1 + 2*a^4*x*x1*y*y1*z - a^4*x*x1*y1^2*z1 - a^4*x*x1*y1*z1^2 + 2*a^4*x*y^2*y1*z1 + 2*a^4*x*y*y1*z*z1 + 2*a^2*b^2*x^2*x1*y*z1 - 2*a^2*b^2*x^2*y*y1*z1 + a^2*b^2*x*x1^2*y1*z1 + 2*a^2*b^2*x*x1*y^2*z1 + 2*a^2*b^2*x*x1*y*z*z1 + a^2*b^2*x*x1*y1^2*z1 + a^2*b^2*x*x1*y1*z1^2 - 2*a^2*b^2*x*y^2*y1*z1 - 2*a^2*b^2*x*y*y1*z*z1 - a^2*b^2*x1^2*y*y1*z1 - a^2*b^2*x1*y*y1^2*z1 - a^2*b^2*x1*y*y1*z1^2 - 2*a^2*c^2*x^2*x1*y*y1 - 2*a^2*c^2*x^2*y*y1*z1 + a^2*c^2*x*x1^2*y1*z1 - 2*a^2*c^2*x*x1*y^2*y1 - 2*a^2*c^2*x*x1*y*y1*z + a^2*c^2*x*x1*y1^2*z1 + a^2*c^2*x*x1*y1*z1^2 - 2*a^2*c^2*x*y^2*y1*z1 - 2*a^2*c^2*x*y*y1*z*z1 + 6*a^2*x^4*x1*y*y1 + 2*a^2*x^4*x1*y*z1 + 4*a^2*x^4*y*y1*z1 - 2*a^2*x^3*x1^2*y1*z1 + 6*a^2*x^3*x1*y^2*y1 + 2*a^2*x^3*x1*y^2*z1 + 6*a^2*x^3*x1*y*y1*z + 2*a^2*x^3*x1*y*z*z1 - 2*a^2*x^3*x1*y1^2*z1 - 2*a^2*x^3*x1*y1*z1^2 + 4*a^2*x^3*y^2*y1*z1 + 4*a^2*x^3*y*y1*z*z1 - a^2*x^2*x1^2*y*y1*z1 - 2*a^2*x^2*x1*y^3*y1 - a^2*x^2*x1*y*y1^2*z1 - 4*a^2*x^2*x1*y*y1*z^2 - a^2*x^2*x1*y*y1*z1^2 - 2*a^2*x^2*x1*y*z^2*z1 - 2*a^2*x^2*y^3*y1*z1 - 2*a^2*x^2*y*y1*z^2*z1 + a^2*x*x1^2*y^2*y1*z1 + a^2*x*x1^2*y1*z^2*z1 - 2*a^2*x*x1*y^4*y1 - 2*a^2*x*x1*y^3*y1*z + a^2*x*x1*y^2*y1^2*z1 - 4*a^2*x*x1*y^2*y1*z^2 + a^2*x*x1*y^2*y1*z1^2 - 2*a^2*x*x1*y^2*z^2*z1 - 4*a^2*x*x1*y*y1*z^3 - 2*a^2*x*x1*y*z^3*z1 + a^2*x*x1*y1^2*z^2*z1 + a^2*x*x1*y1*z^2*z1^2 - 2*a^2*x*y^4*y1*z1 - 2*a^2*x*y^3*y1*z*z1 - 2*a^2*x*y^2*y1*z^2*z1 - 2*a^2*x*y*y1*z^3*z1 + a^2*x1^2*y*y1*z^2*z1 + a^2*x1*y*y1^2*z^2*z1 + a^2*x1*y*y1*z^2*z1^2 - 2*b^4*x^2*x1*y*y1 - 2*b^4*x^2*x1*y*z1 - 2*b^4*x*x1*y^2*y1 - 2*b^4*x*x1*y^2*z1 - 2*b^4*x*x1*y*y1*z - 2*b^4*x*x1*y*z*z1 + b^4*x1^2*y*y1*z1 + b^4*x1*y*y1^2*z1 + b^4*x1*y*y1*z1^2 + 2*b^2*c^2*x^2*x1*y*y1 + 2*b^2*c^2*x^2*x1*y*z1 + 2*b^2*c^2*x*x1*y^2*y1 + 2*b^2*c^2*x*x1*y^2*z1 + 2*b^2*c^2*x*x1*y*y1*z + 2*b^2*c^2*x*x1*y*z*z1 - b^2*c^2*x1^2*y*y1*z1 - b^2*c^2*x1*y*y1^2*z1 - b^2*c^2*x1*y*y1*z1^2 + 2*b^2*x^4*x1*y*y1 + 2*b^2*x^4*x1*y*z1 + 2*b^2*x^3*x1*y^2*y1 + 2*b^2*x^3*x1*y^2*z1 + 2*b^2*x^3*x1*y*y1*z + 2*b^2*x^3*x1*y*z*z1 - b^2*x^2*x1^2*y*y1*z1 - 6*b^2*x^2*x1*y^3*y1 - 4*b^2*x^2*x1*y^3*z1 - b^2*x^2*x1*y*y1^2*z1 + 4*b^2*x^2*x1*y*y1*z^2 - b^2*x^2*x1*y*y1*z1^2 + 2*b^2*x^2*x1*y*z^2*z1 - 2*b^2*x^2*y^3*y1*z1 + 2*b^2*x^2*y*y1*z^2*z1 + b^2*x*x1^2*y^2*y1*z1 - b^2*x*x1^2*y1*z^2*z1 - 6*b^2*x*x1*y^4*y1 - 4*b^2*x*x1*y^4*z1 - 6*b^2*x*x1*y^3*y1*z - 4*b^2*x*x1*y^3*z*z1 + b^2*x*x1*y^2*y1^2*z1 + 4*b^2*x*x1*y^2*y1*z^2 + b^2*x*x1*y^2*y1*z1^2 + 2*b^2*x*x1*y^2*z^2*z1 + 4*b^2*x*x1*y*y1*z^3 + 2*b^2*x*x1*y*z^3*z1 - b^2*x*x1*y1^2*z^2*z1 - b^2*x*x1*y1*z^2*z1^2 - 2*b^2*x*y^4*y1*z1 - 2*b^2*x*y^3*y1*z*z1 + 2*b^2*x*y^2*y1*z^2*z1 + 2*b^2*x*y*y1*z^3*z1 + 2*b^2*x1^2*y^3*y1*z1 - b^2*x1^2*y*y1*z^2*z1 + 2*b^2*x1*y^3*y1^2*z1 + 2*b^2*x1*y^3*y1*z1^2 - b^2*x1*y*y1^2*z^2*z1 - b^2*x1*y*y1*z^2*z1^2 - 2*c^2*x^4*x1*y*y1 - 2*c^2*x^4*x1*y*z1 - 2*c^2*x^3*x1*y^2*y1 - 2*c^2*x^3*x1*y^2*z1 - 2*c^2*x^3*x1*y*y1*z - 2*c^2*x^3*x1*y*z*z1 + c^2*x^2*x1^2*y*y1*z1 + 2*c^2*x^2*x1*y^3*y1 + c^2*x^2*x1*y*y1^2*z1 + c^2*x^2*x1*y*y1*z1^2 + 2*c^2*x^2*x1*y*z^2*z1 + 2*c^2*x^2*y^3*y1*z1 - 2*c^2*x^2*y*y1*z^2*z1 - c^2*x*x1^2*y^2*y1*z1 + c^2*x*x1^2*y1*z^2*z1 + 2*c^2*x*x1*y^4*y1 + 2*c^2*x*x1*y^3*y1*z - c^2*x*x1*y^2*y1^2*z1 - c^2*x*x1*y^2*y1*z1^2 + 2*c^2*x*x1*y^2*z^2*z1 + 2*c^2*x*x1*y*z^3*z1 + c^2*x*x1*y1^2*z^2*z1 + c^2*x*x1*y1*z^2*z1^2 + 2*c^2*x*y^4*y1*z1 + 2*c^2*x*y^3*y1*z*z1 - 2*c^2*x*y^2*y1*z^2*z1 - 2*c^2*x*y*y1*z^3*z1 - c^2*x1^2*y*y1*z^2*z1 - c^2*x1*y*y1^2*z^2*z1 - c^2*x1*y*y1*z^2*z1^2}

点评

这回结果对了  发表于 2020-9-21 19:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-23 18:53:49 | 显示全部楼层
既然消元量太大造成我们无法进一步得到最终结果,但我们可以退一步:

我现在提供一个新的视角来分析这个问题:即用渐近分析的方法来求解近似解

由于最小值点靠近外心,我们可以直接设

\(x=R+\frac{u1}{R}+\frac{v1}{R^2}\)

\(y=R+\frac{u2}{R}+\frac{v2}{R^2}\)

\(z=R+\frac{-u1-u2}{R}+\frac{-v1-v2}{R^2}\)

然后代入约束条件:

\((-a^2 + y^2 + z^2)^2x^2 + (-b^2 + x^2 + z^2)^2y^2 + (-c^2 + x^2 + y^2)^2z^2 - (-a^2 + y^2 + z^2)(-b^2 + x^2 + z^2)(-c^2 + x^2 + y^2) - 4x^2y^2z^2=0\)

代入上式,并按\(R\)渐近展开整理得,为方便输入记\(R=\frac{1}{t}\)

\((2a^4u1v1 - 2a^2b^2u1v1 - 2a^2b^2u2v2 - 4a^2c^2u1v1 - 2a^2c^2u1v2 - 2a^2c^2u2v1 - 2a^2c^2u2v2 + 2b^4u2v2 - 2b^2c^2u1v1 - 2b^2c^2u1v2 - 2b^2c^2u2v1 - 4b^2c^2u2v2 + 2c^4u1v1 + 2c^4u1v2 + 2c^4u2v1 + 2c^4u2v2 + 12a^2u1^2v1 - 2a^2u1^2v2 - 4a^2u1u2v1 - 4a^2u1u2v2 - 2a^2u2^2v1 - 2b^2u1^2v2 - 4b^2u1u2v1 - 4b^2u1u2v2 - 2b^2u2^2v1 + 12b^2u2^2v2 - 12c^2u1^2v1 - 14c^2u1^2v2 - 28c^2u1u2v1 - 28c^2u1u2v2 - 14c^2u2^2v1 - 12c^2u2^2v2)t^3 + (a^4u1^2 - a^2b^2u1^2 - a^2b^2u2^2 - 2a^2c^2u1^2 - 2a^2c^2u1u2 - a^2c^2u2^2 + b^4u2^2 - b^2c^2u1^2 - 2b^2c^2u1u2 - 2b^2c^2u2^2 + c^4u1^2 + 2c^4u1u2 + c^4u2^2 + 4a^2u1^3 - 2a^2u1^2u2 - 2a^2u1u2^2 - 2b^2u1^2u2 - 2b^2u1u2^2 + 4b^2u2^3 - 4c^2u1^3 - 14c^2u1^2u2 - 14c^2u1u2^2 - 4c^2u2^3 + 8a^2v1^2 - 4a^2v1v2 - 4a^2v2^2 - 4b^2v1^2 - 4b^2v1v2 + 8b^2v2^2 + 8c^2v1^2 + 20c^2v1v2 + 8c^2v2^2)t^2 + (2a^4v1 - 2a^2b^2v1 - 2a^2b^2v2 + 2a^2c^2v2 + 2b^4v2 + 2b^2c^2v1 - 2c^4v1 - 2c^4v2 + 16a^2u1v1 - 4a^2u1v2 - 4a^2u2v1 - 8a^2u2v2 - 8b^2u1v1 - 4b^2u1v2 - 4b^2u2v1 + 16b^2u2v2 + 16c^2u1v1 + 20c^2u1v2 + 20c^2u2v1 + 16c^2u2v2)t + 2a^4u1 - 2a^2b^2u1 - 2a^2b^2u2 + 2a^2c^2u2 + 2b^4u2 + 2c^2b^2u1 - 2c^4u1 - 2c^4u2 + 8a^2u1^2 - 4a^2u1u2 - 4a^2u2^2 - 4b^2u1^2 - 4b^2u1u2 + 8b^2u2^2 + 8c^2u1^2 + 20c^2u1u2 + 8c^2u2^2=0\)

我们分别取\(t\)的所有项系数为0得到

A1: \( 2a^4u1 - 2a^2b^2u1 - 2a^2b^2u2 + 2a^2c^2u2 + 2b^4u2 + 2b^2c^2u1 - 2c^4u1 - 2c^4u2 + 8a^2u1^2 - 4a^2u1u2 - 4a^2u2^2 - 4b^2u1^2 - 4b^2u1u2 + 8b^2u2^2 + 8c^2u1^2 + 20c^2u1u2 + 8c^2u2^2, 2a^4v1 - 2a^2b^2v1 - 2a^2b^2v2 + 2a^2c^2v2 + 2b^4v2 + 2b^2c^2v1 - 2c^4v1 - 2c^4v2 + 16a^2u1v1 - 4a^2u1v2 - 4a^2u2v1 - 8a^2u2v2 - 8b^2u1v1 - 4b^2u1v2 - 4b^2u2v1 + 16b^2u2v2 + 16c^2u1v1 + 20c^2u1v2 + 20c^2u2v1 + 16c^2u2v2=0\)

A2:  \(a^4u1^2 - a^2b^2u1^2 - a^2b^2u2^2 - 2a^2c^2u1^2 - 2a^2c^2u1u2 - a^2c^2u2^2 + b^4u2^2 - b^2c^2u1^2 - 2b^2c^2u1u2 - 2b^2c^2u2^2 + c^4u1^2 + 2c^4u1u2 + c^4u2^2 + 4a^2u1^3 - 2a^2u1^2u2 - 2a^2u1u2^2 - 2b^2u1^2u2 - 2b^2u1u2^2 + 4b^2u2^3 - 4c^2u1^3 - 14c^2u1^2u2 - 14c^2u1u2^2 - 4c^2u2^3 + 8a^2v1^2 - 4a^2v1v2 - 4a^2v2^2 - 4b^2v1^2 - 4b^2v1v2 + 8b^2v2^2 + 8c^2v1^2 + 20c^2v1v2 + 8c^2v2^2=0\)

A3: \( 2a^4u1v1 - 2a^2b^2u1v1 - 2a^2b^2u2v2 - 4a^2c^2u1v1 - 2a^2c^2u1v2 - 2a^2c^2u2v1 - 2a^2c^2u2v2 + 2b^4u2v2 - 2b^2c^2u1v1 - 2b^2c^2u1v2 - 2b^2c^2u2v1 - 4b^2c^2u2v2 + 2c^4u1v1 + 2c^4u1v2 + 2c^4u2v1 + 2c^4u2v2 + 12a^2u1^2v1 - 2a^2u1^2v2 - 4a^2u1u2v1 - 4a^2u1u2v2 - 2a^2u2^2v1 - 2b^2u1^2v2 - 4b^2u1u2v1 - 4b^2u1u2v2 - 2b^2u2^2v1 + 12b^2u2^2v2 - 12c^2u1^2v1 - 14c^2u1^2v2 - 28c^2u1u2v1 - 28c^2u1u2v2 - 14c^2u2^2v1 - 12c^2u2^2v2=0\)

另外需要求\(k=\frac{\sqrt{2(y^2+z^2)-a^2}+\sqrt{2(x^2+z^2)-b^2}+\sqrt{2(x^2+y^2)-c^2}}{2(x+y+z)}\)极值:

也将其\(x,y,z\)的参数式代入上式并按R渐近展开得到

\(k=1-\frac{a^2+b^2+c^2}{24}t+B_1t^2+B_2t^4+B_3t^5+...\)

其中

\(B1=-1/384c^4 + 1/4u2^2 - 1/384b^4 - 1/384a^4 - 1/48a^2u1 - 1/48b^2u2 + 1/48c^2u1 + 1/48c^2u2 + 1/4u1u2 + 1/4u1^2\)

\(B2=1/2u2v2 - 1/48a^2v1 - 1/48v2b^2 + 1/48c^2v2 + 1/48c^2v1 + 1/4u1v2 + 1/4u2v1 + 1/2u1v1\)

显然\(k\)极值等价于\(B1,B2\)的极值,利用拉格朗日乘子法得到:

在A1条件下求B1的极值:

[(2*a^4 - 2*a^2*b^2 + 2*b^2*c^2 - 2*c^4 + 16*a^2*u1 - 4*a^2*u2 - 8*b^2*u1 - 4*b^2*u2 + 16*c^2*u1 + 20*c^2*u2)*t0 - a^2/48 + c^2/48 + u2/4 + u1/2, (-2*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + 2*b^4 - 2*c^4 - 4*a^2*u1 - 8*a^2*u2 - 4*b^2*u1 + 16*b^2*u2 + 20*c^2*u1 + 16*c^2*u2)*t0 + u2/2 - b^2/48 + c^2/48 + u1/4, 2*a^4*u1 - 2*a^2*b^2*u1 - 2*a^2*b^2*u2 + 2*a^2*c^2*u2 + 2*b^4*u2 + 2*b^2*c^2*u1 - 2*c^4*u1 - 2*c^4*u2 + 8*a^2*u1^2 - 4*a^2*u1*u2 - 4*a^2*u2^2 - 4*b^2*u1^2 - 4*b^2*u1*u2 + 8*b^2*u2^2 + 8*c^2*u1^2 + 20*c^2*u1*u2 + 8*c^2*u2^2]

在A2条件下求B2的极值:

[u2*v2/2 - a^2*v1/48 - v2*b^2/48 + c^2*v2/48 + c^2*v1/48 + u1*v2/4 + u2*v1/4 + u1*v1/2,t1*(2*a^4 - 2*a^2*b^2 + 2*b^2*c^2 - 2*c^4 + 16*a^2*u1 - 4*a^2*u2 - 8*b^2*u1 - 4*b^2*u2 + 16*c^2*u1 + 20*c^2*u2) - a^2/48 + c^2/48 + u2/4 + u1/2,t1*(-2*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + 2*b^4 - 2*c^4 - 4*a^2*u1 - 8*a^2*u2 - 4*b^2*u1 + 16*b^2*u2 + 20*c^2*u1 + 16*c^2*u2) + u2/2 - b^2/48 + c^2/48 + u1/4]

最终得到:

\(u1\)满足的代数方程:

-192*a^12*b^2*c^2 + 424*a^10*b^4*c^2 + 424*a^10*b^2*c^4 - 944*a^8*b^6*c^2 + 112*a^8*b^4*c^4 - 944*a^8*b^2*c^6 + 1568*a^6*b^8*c^2 - 472*a^6*b^6*c^4 - 472*a^6*b^4*c^6 + 1568*a^6*b^2*c^8 - 800*a^4*b^10*c^2 - 1784*a^4*b^8*c^4 + 3680*a^4*b^6*c^6 - 1784*a^4*b^4*c^8 - 800*a^4*b^2*c^10 - 264*a^2*b^12*c^2 + 2104*a^2*b^10*c^4 - 1632*a^2*b^8*c^6 - 1632*a^2*b^6*c^8 + 2104*a^2*b^4*c^10 - 264*a^2*b^2*c^12 + 888*a^8*b^8 + 888*a^8*c^8 - 1096*a^6*b^10 - 1096*a^6*c^10 + 744*a^4*b^12 + 744*a^4*c^12 - 208*a^2*b^14 - 208*a^2*c^14 + 208*b^14*c^2 - 480*b^12*c^4 - 208*b^10*c^6 + 960*b^8*c^8 - 208*b^6*c^10 + (-746496*a^8 + 2239488*a^6*b^2 + 2239488*a^6*c^2 - 2985984*a^4*b^4 - 746496*a^4*b^2*c^2 - 2985984*a^4*c^4 + 2239488*a^2*b^6 - 746496*a^2*b^4*c^2 - 746496*a^2*b^2*c^4 + 2239488*a^2*c^6 - 746496*b^8 + 2239488*b^6*c^2 - 2985984*b^4*c^4 + 2239488*b^2*c^6 - 746496*c^8)*u1^4 + (-269568*a^10 + 850176*a^8*b^2 + 850176*a^8*c^2 - 1109376*a^6*b^4 - 705024*a^6*b^2*c^2 - 1109376*a^6*c^4 + 881280*a^4*b^6 + 31104*a^4*b^4*c^2 + 31104*a^4*b^2*c^4 + 881280*a^4*c^6 - 487296*a^2*b^8 + 352512*a^2*b^6*c^2 - 62208*a^2*b^4*c^4 + 352512*a^2*b^2*c^6 - 487296*a^2*c^8 + 134784*b^10 - 362880*b^8*c^2 + 228096*b^6*c^4 + 228096*b^4*c^6 - 362880*b^2*c^8 + 134784*c^10)*u1^3 + (-26640*a^12 + 79344*a^10*b^2 + 79344*a^10*c^2 - 82656*a^8*b^4 - 51408*a^8*b^2*c^2 - 82656*a^8*c^4 + 46080*a^6*b^6 - 46368*a^6*b^4*c^2 - 46368*a^6*b^2*c^4 + 46080*a^6*c^6 - 52848*a^4*b^8 + 24048*a^4*b^6*c^2 + 207360*a^4*b^4*c^4 + 24048*a^4*b^2*c^6 - 52848*a^4*c^8 + 61200*a^2*b^10 - 54000*a^2*b^8*c^2 - 39456*a^2*b^6*c^4 - 39456*a^2*b^4*c^6 - 54000*a^2*b^2*c^8 + 61200*a^2*c^10 - 24480*b^12 + 32256*b^10*c^2 + 24480*b^8*c^4 - 64512*b^6*c^6 + 24480*b^4*c^8 + 32256*b^2*c^10 - 24480*c^12)*u1^2 + (-800*a^14 + 2160*a^12*b^2 + 2160*a^12*c^2 - 272*a^10*b^4 - 3008*a^10*b^2*c^2 - 272*a^10*c^4 - 7424*a^8*b^6 + 4816*a^8*b^4*c^2 + 4816*a^8*b^2*c^4 - 7424*a^8*c^6 + 13312*a^6*b^8 - 13152*a^6*b^6*c^2 + 5440*a^6*b^4*c^4 - 13152*a^6*b^2*c^6 + 13312*a^6*c^8 - 7184*a^4*b^10 + 2368*a^4*b^8*c^2 + 5584*a^4*b^6*c^4 + 5584*a^4*b^4*c^6 + 2368*a^4*b^2*c^8 - 7184*a^4*c^10 - 1872*a^2*b^12 + 13696*a^2*b^10*c^2 - 15920*a^2*b^8*c^4 + 6144*a^2*b^6*c^6 - 15920*a^2*b^4*c^8 + 13696*a^2*b^2*c^10 - 1872*a^2*c^12 + 2080*b^14 - 6624*b^12*c^2 + 3040*b^10*c^4 + 1504*b^8*c^6 + 1504*b^6*c^8 + 3040*b^4*c^10 - 6624*b^2*c^12 + 2080*c^14)*u1 - 480*b^4*c^12 + 208*b^2*c^14 + 96*a^12*b^4 + 96*a^12*c^4 - 424*a^10*b^6 - 424*a^10*c^6=0

\(u2\)满足的代数方程:

-264*a^12*b^2*c^2 - 800*a^10*b^4*c^2 + 2104*a^10*b^2*c^4 + 1568*a^8*b^6*c^2 - 1784*a^8*b^4*c^4 - 1632*a^8*b^2*c^6 - 944*a^6*b^8*c^2 - 472*a^6*b^6*c^4 + 3680*a^6*b^4*c^6 - 1632*a^6*b^2*c^8 + 424*a^4*b^10*c^2 + 112*a^4*b^8*c^4 - 472*a^4*b^6*c^6 - 1784*a^4*b^4*c^8 + 2104*a^4*b^2*c^10 - 192*a^2*b^12*c^2 + 424*a^2*b^10*c^4 - 944*a^2*b^8*c^6 + 1568*a^2*b^6*c^8 - 800*a^2*b^4*c^10 - 264*a^2*b^2*c^12 + 888*a^8*b^8 + 960*a^8*c^8 - 424*a^6*b^10 - 208*a^6*c^10 + 96*a^4*b^12 - 480*a^4*c^12 + 208*a^2*c^14 + 96*b^12*c^4 - 424*b^10*c^6 + 888*b^8*c^8 - 1096*b^6*c^10 - 208*a^14*b^2 + 208*a^14*c^2 + (-746496*a^8 + 2239488*a^6*b^2 + 2239488*a^6*c^2 - 2985984*a^4*b^4 - 746496*a^4*b^2*c^2 - 2985984*a^4*c^4 + 2239488*a^2*b^6 - 746496*a^2*b^4*c^2 - 746496*a^2*b^2*c^4 + 2239488*a^2*c^6 - 746496*b^8 + 2239488*b^6*c^2 - 2985984*b^4*c^4 + 2239488*b^2*c^6 - 746496*c^8)*u2^4 + (134784*a^10 - 487296*a^8*b^2 - 362880*a^8*c^2 + 881280*a^6*b^4 + 352512*a^6*b^2*c^2 + 228096*a^6*c^4 - 1109376*a^4*b^6 + 31104*a^4*b^4*c^2 - 62208*a^4*b^2*c^4 + 228096*a^4*c^6 + 850176*a^2*b^8 - 705024*a^2*b^6*c^2 + 31104*a^2*b^4*c^4 + 352512*a^2*b^2*c^6 - 362880*a^2*c^8 - 269568*b^10 + 850176*b^8*c^2 - 1109376*b^6*c^4 + 881280*b^4*c^6 - 487296*b^2*c^8 + 134784*c^10)*u2^3 + (-24480*a^12 + 61200*a^10*b^2 + 32256*a^10*c^2 - 52848*a^8*b^4 - 54000*a^8*b^2*c^2 + 24480*a^8*c^4 + 46080*a^6*b^6 + 24048*a^6*b^4*c^2 - 39456*a^6*b^2*c^4 - 64512*a^6*c^6 - 82656*a^4*b^8 - 46368*a^4*b^6*c^2 + 207360*a^4*b^4*c^4 - 39456*a^4*b^2*c^6 + 24480*a^4*c^8 + 79344*a^2*b^10 - 51408*a^2*b^8*c^2 - 46368*a^2*b^6*c^4 + 24048*a^2*b^4*c^6 - 54000*a^2*b^2*c^8 + 32256*a^2*c^10 - 26640*b^12 + 79344*b^10*c^2 - 82656*b^8*c^4 + 46080*b^6*c^6 - 52848*b^4*c^8 + 61200*b^2*c^10 - 24480*c^12)*u2^2 + (2080*a^14 - 1872*a^12*b^2 - 6624*a^12*c^2 - 7184*a^10*b^4 + 13696*a^10*b^2*c^2 + 3040*a^10*c^4 + 13312*a^8*b^6 + 2368*a^8*b^4*c^2 - 15920*a^8*b^2*c^4 + 1504*a^8*c^6 - 7424*a^6*b^8 - 13152*a^6*b^6*c^2 + 5584*a^6*b^4*c^4 + 6144*a^6*b^2*c^6 + 1504*a^6*c^8 - 272*a^4*b^10 + 4816*a^4*b^8*c^2 + 5440*a^4*b^6*c^4 + 5584*a^4*b^4*c^6 - 15920*a^4*b^2*c^8 + 3040*a^4*c^10 + 2160*a^2*b^12 - 3008*a^2*b^10*c^2 + 4816*a^2*b^8*c^4 - 13152*a^2*b^6*c^6 + 2368*a^2*b^4*c^8 + 13696*a^2*b^2*c^10 - 6624*a^2*c^12 - 800*b^14 + 2160*b^12*c^2 - 272*b^10*c^4 - 7424*b^8*c^6 + 13312*b^6*c^8 - 7184*b^4*c^10 - 1872*b^2*c^12 + 2080*c^14)*u2 + 744*b^4*c^12 - 208*b^2*c^14 + 744*a^12*b^4 - 480*a^12*c^4 - 1096*a^10*b^6 - 208*a^10*c^6=0

\(v1=0,v2=0\)

例如:

\(a=10,b=9,c=6,R=5.063118092,t0 = 0.0001883263821, u1 = -0.3190246465, u2 = 1.038454388,x = 5.000108571, y = 5.268219843, z = 4.921025862,k=0.4772454312\)

\(a=5,b=4,c=3,R=2.5,t0 = 0.0004802375510, u1 = -0.01075891494, u2 = 0.2493186010, x = 2.495696434, y = 2.599727440, z = 2.404576126,k=0.4824634555\)

点评

我的偶像,我拜读了你的全部公式和验算了2个例子,发现解题思路很漂亮,但近似计算的设置不合适,导致后部公式远离精确值 ,恳请再审,帮助后来着  发表于 2020-9-29 19:29
不是近似解精度问题,你的解与最佳数值解差太多,甚至远不如P在外心,这还是近似解吗?  发表于 2020-9-27 16:24
本方法只能得到近似解~不要太纠结与精确结果的差距  发表于 2020-9-27 13:35
请认真审查公式和计算结果, 我验算结果显示你的2个例子的结果都错了,是我错了吗,错在哪儿?详见回帖  发表于 2020-9-27 11:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-25 15:29:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-25 15:37 编辑

锐角三角形的最小值点能在外心吗?能,有无穷多个例子

锐角三角形的最小值点不总在外心,但有无穷多三角形的最小值点在外心
例如1 等边三角形最小值点在外心,也是中心,与边长无关,因此有无穷多相似的等边三角形的最小值点在外心
     见下例
     例 12:60度_10_60度_例12等边三角形aA=60度

例如2:小角A的2个邻边相等的等腰三角形,最小值点不在外心,但当A趋于0时,最小值趋于外心
  mathe的漂亮的图形演示的正是这种情形
说明:一般三角形的最小值点不在外心附近,对于钝角三角形最小值点远离外心

极小值点在外心的例子
例12等边三角形aA=60度,aC=aA
角A:60.度_边s=10._角C:60.度
边a=10._边b=10._边c:10.
P=D {7.5,4.33013} L=0.535898
P=E {5.,0} L=0.535898
P=H {3.75,2.16506} L=0.531362
P=F {2.5,4.33013} L=0.535898
P=O {5.,2.88675} L=0.5
P=O1 {5.,2.88675} L=0.5
计算极值直线:
A->D 序号=668 x= 5.0025 y= 2.88819 L=0.5
B->E 序号=668 x= 5. y= 2.88386 L=0.5
P=最小值点 {5.,2.88675} L最小值=0.5

图形文件名:3顶点3中点_例12_a10._b10._c10._0.5-20200921.png


最小值点在外心的例子

最小值点在外心的例子
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发表于 2020-9-27 16:40:01 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2020-9-23 18:53
既然消元量太大造成我们无法进一步得到最终结果,但我们可以退一步:

我现在提供一个新的视角来分析这个 ...

请认真审查公式和计算结果,
我验算结果显示你的2个例子的结果都错了,我错了吗,错在哪儿?
你的近似解比P在外心的误差还要大许多,提示公式或计算有误,我是外行,善意提醒,不再纠结
结果比较:
例2: a=5,b=4,c=3,

数学星空:   x =?,           y =?,           k=0.4824634555
P在外心 :   x =5/2,         y =0,           k=0.466667
P在最小值点:x =2.5,         y =0,           k=0.466667

例3:a=10,b=9,c=6,
数学星空:   x =?,            y =?,            k=0.4772454312
P在外心 :   x =5,            y =17/Sqrt[455], k=0.473765 (* 5, 0.796972*)
P在最小值点:x =4.94083,      y =0.682812,     k=0.473542
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发表于 2020-9-27 17:05:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-9-27 23:03 编辑

最后讨论
m/n的取值范围:
根据fL公式分析
记L=m/n,L的最小值Lmin,
设aC=k*aA,k>=1,
有下列3个结论(公式推导略)
1 1/3< L < 1
2 aA->0,Lmin->(1+k)/(1+3k) 即: 1/3< Lmin < 1/2
3 因为aA=60 Lmin=1/2,所以对任意三角形
  1/3< Lmin <= 1/2
  
可见:楼主的2个结论都成立:
1 m/n >= 1/3 否恒成立? :正确,恒成立
2 点在直角三角形斜边中点, 一个角趋近于0的时候,比值可以无限接近1/3 :在特定条件下,比值可以无限接近1/3
  实际 aC=90-aA= k*aA ,aA->0时   k->∞,  Lmin->(1+k)/(1+3k)=1/3

计算了11个例子,验证上述结论  (详细数据待发布)
例子:
例1,2,3,4 k=2 m/n->(1+k)/(1+3k)=3/7
例5,6,7   k=1 m/n->(1+k)/(1+3k)=1/2
例8,9,10,11 k大数 m/n->(1+k)/(1+3k)=1/3(只有这些例子比值无限接近1/3)

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