点到三角形三边中点距离之和与到三个顶点距离之和的比值

dlpg070

最后讨论
m/n的取值范围:
根据fL公式分析
记L=m/n,L的最小值Lmin,
设aC=k*aA,k>=1,
有下列3个结论(公式推导略)
1 1/3< L < 1
2 aA->0,Lmin->(1+k)/(1+3k) 即: 1/3< Lmin < 1/2
3 因为aA=60 Lmin=1/2,所以对任意三角形
  1/3< Lmin <= 1/2
  
可见:楼主的2个结论都成立:
1 m/n >= 1/3 否恒成立? :正确,恒成立
2 点在直角三角形斜边中点, 一个角趋近于0的时候，比值可以无限接近1/3 :在特定条件下,比值可以无限接近1/3
  实际 aC=90-aA= k*aA ,aA->0时   k->∞,  Lmin->(1+k)/(1+3k)=1/3

计算了11个例子,验证上述结论  (详细数据待发布)
例子:
例1,2,3,4 k=2 m/n->(1+k)/(1+3k)=3/7
例5,6,7   k=1 m/n->(1+k)/(1+3k)=1/2
例8,9,10,11 k大数 m/n->(1+k)/(1+3k)=1/3(只有这些例子比值无限接近1/3)

wangzhaoyu2

dlpg070 发表于 2020-9-19 21:10
你说的对,有许多情形外心不是最小值点
验算了你的例子,确实,外心不是最小值点
但你给的(x,y)计算结果 ...

简单的计算了一下，设A(0,0)，B(5,0)，C(0,1)三角形，在P（2.428，0.342）附近有最小值L=0.390927093

dlpg070

wangzhaoyu2 发表于 2020-9-30 11:18
简单的计算了一下，设A(0,0)，B(5,0)，C(0,1)三角形，在P（2.428，0.342）附近有最小值L=0.390927093

非常高兴你提供又一个实例,
我验算后高兴地说,你的计算结果正确
但我和你的结果有些差异,让我们探讨一下计算误差

1 为了利用现有代码,我计算和画图时,x,y坐标互换
2 图中我的最小值点 黑色,标为P {0.342129,2.42799} L最小值=0.390927
      你的最小值点 绿色,标为H {0.298,2.401}            L=0.391199
                                             你的最小值L=0.3910469
  肉眼可见黑点和绿点很接近,但可区分
3 不同有3处:
  1  H点 {0.298,2.401}  L计算结果不同                                                
  2  最小值点不同 你的H {0.298,2.401}
                  我的P {0.342129,2.42799}
  3  最小值不同 你的 L=0.3910469
                我的 L=0.390927
我不敢说谁的误差大,希望做如下实验:
用你的代码算我的P {0.342129,2.42799}的L,看一看比你的H点L如何

图形文件:
3顶点3中点_例16_a5.09902_b1._c5._0.390927-20200926.png

dlpg070

给定三角形m/n的分布:
给定一个三角形，使得比值最小的点 是什么点，比值最小又是多少。
看下面的例子 比值在重心和最长边的中心附近形成一个盆地

例2 锐角 a=10  b=9 c=6
P在最小值点:x =4.94083,      y =0.682812,     k=0.473542
"3顶点3中点散点图abc例2_a10_b9_c6_0.473542-20200930.png"

"3顶点3中点等高线abc例2_a10_b9_c6_0.473542-20200930.png"

3D图形的前端紫色区域是盆地,凸起处是A点,红色是高原,采用彩虹色