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[分享] 计算圆周率的马青公式

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发表于 2020-11-26 12:38:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2020-11-26 17:19 编辑

\[
\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}\]  \[
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}\]  \[
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}\]  \[
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\]  


\[
\frac{\pi}{4} = 22 \arctan\frac{24478}{873121} + 17 \arctan\frac{685601}{69049993}\]
873121/24478=35.6696   
69049993/685601=100.7145

\[\begin{align}\nonumber
\frac{\pi}{4} =& 36462\arctan\frac{1}{390112} + 135908\arctan\frac{1}{485298} + 274509\arctan\frac{1}{683982}\\\nonumber
& - 39581\arctan\frac{1}{1984933} + 178477\arctan\frac{1}{2478328} - 114569\arctan\frac{1}{3449051}\\\nonumber
& - 146571\arctan\frac{1}{18975991} + 61914\arctan\frac{1}{22709274} - 69044\arctan\frac{1}{24208144}\\\nonumber
& - 89431\arctan\frac{1}{201229582} - 43938\arctan\frac{1}{2189376182}\\\nonumber
\end{align}
\]

\[\begin{align}\nonumber
\frac{\pi}{4} =& 36462\arctan\frac{1}{51387} + 26522\arctan\frac{1}{485298} + 19275\arctan\frac{1}{683982}\\\nonumber
& - 3119\arctan\frac{1}{1984933} - 3833\arctan\frac{1}{2478328} - 5183\arctan\frac{1}{3449051}\\\nonumber
& - 37185\arctan\frac{1}{18975991} - 11010\arctan\frac{1}{22709274} + 3880\arctan\frac{1}{24208144}\\\nonumber
& - 16507\arctan\frac{1}{201229582} - 7476\arctan\frac{1}{2189376182}\\\nonumber
\end{align}
\]


据说下面这个计算圆周率效率最高(截止目前为止)
\[\begin{align}\nonumber
\frac{\pi}{4} = 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832}+ 12\arctan\frac{1}{110443} - 12\arctan\frac{1}{4841182} - 100\arctan\frac{1}{6826318}
\end{align}
\]

\[\begin{align}\nonumber
\frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832}\\\nonumber
& + 12\arctan\frac{1}{113021} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\\nonumber
& - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\\nonumber
\end{align}
\]

\[\begin{align}\nonumber
\frac{\pi}{4} =& 83\arctan\frac{1}{107} + 17\arctan\frac{1}{1710} - 22\arctan\frac{1}{103697}\\\nonumber
& - 24\arctan\frac{1}{2513489} - 44\arctan\frac{1}{18280007883}\\\nonumber
& + 12\arctan\frac{1}{7939642926390344818}\\\nonumber
& + 22\arctan\frac{1}{3054211727257704725384731479018}\\\nonumber
\end{align}
\]


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-26 13:27:48 | 显示全部楼层
我自己发现的一个公式

\[195 \tan ^{-1}\left(\frac{2978524660427}{790520789974362}\right)+19 \tan ^{-1}\left(\frac{2994126641546506616745617081021334008746473393080205507526623137656586795830104964907812116347980394548330682181943192107927956313441308164761231029669}{1122487592921365357547055773906342852958796775410563096730105987826139207457659399117722220371837917823378527307483603727346405388395377504012973273547825}\right)\]

  1. 19 ArcTan[2994126641546506616745617081021334008746473393080205507526623137656586795830104964907812116347980394548330682181943192107927956313441308164761231029669/1122487592921365357547055773906342852958796775410563096730105987826139207457659399117722220371837917823378527307483603727346405388395377504012973273547825]+195 ArcTan[2978524660427/790520789974362]//FullSimplify
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 楼主| 发表于 2020-11-26 13:43:32 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 13:27
我自己发现的一个公式

\[195 \tan ^{-1}\left(\frac{2978524660427}{790520789974362}\right)+19 \tan ^ ...

我又发现了一个公式
  1. 3*ArcTan[1/7] + 2*ArcTan[2/11] // FullSimplify
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\[3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)+2 \tan ^{-1}\left(\frac{2}{11}\right)\]
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 楼主| 发表于 2020-11-26 13:49:48 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 13:43
我又发现了一个公式

我又发现了一个公式
  1. 7*ArcTan[1/7] - 2*ArcTan[29/278] // FullSimplify
复制代码


\[7 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{29}{278}\right)\]
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 楼主| 发表于 2020-11-26 14:11:36 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 13:49
我又发现了一个公式
  1. 23*ArcTan[1/29] -
  2.   ArcTan[11167416853873712957936503245/
  3.     1510887887002505317543521721094] // FullSimplify
复制代码


\[23 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{29}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{11167416853873712957936503245}{1510887887002505317543521721094}\right)\]

又是我发现的一个公式!
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发表于 2020-11-26 15:23:02 | 显示全部楼层
效率最高的是AGM算法,迭代一次,有效位数加倍,你这些都做不到这点,这些公式收敛速度是一次方的,而不是二次方的
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 楼主| 发表于 2020-11-26 16:24:11 | 显示全部楼层
无心人 发表于 2020-11-26 15:23
效率最高的是AGM算法,迭代一次,有效位数加倍,你这些都做不到这点,这些公式收敛速度是一次方的,而不是 ...

你知道现在计算圆周率位数最多的算法是什么算法吗?
我很明确地告诉你,不是AGM算法!好像是AGM太消耗内存了!
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 楼主| 发表于 2020-11-26 16:32:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 14:11
\[23 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{29}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{11167416853873712957936503245}{ ...
  1. -ArcTan[3302155/108089046] + 9 ArcTan[1/11] // FullSimplify
复制代码


\[9 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{3302155}{108089046}\right)\]
我又发现了一个公式
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 楼主| 发表于 2020-11-26 16:47:29 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 16:32
\[9 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{3302155}{108089046}\right)\]
我 ...

\[15 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{19}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{286644039689150}{85622297652490149}\right)\]
又发现一个!
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发表于 2020-11-26 20:37:28 | 显示全部楼层
给定有理数$p,q$,问是否存在整数$a,b$,满足$a arctan p+b arctan q=pi/4$.
比如,是否存在整数$a,b$,满足$a arctan (1/2)+b arctan(1/5)=pi/4$?
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