计算圆周率的马青公式

lsr314

uk702 发表于 2020-11-26 20:51
华罗庚的书有，m*arctan(1/x) + n*arctam(1/y)=k*pi/4，只有四组解
{k, m, n, x, y} = {1, 1, 1, 2,  ...

我搜了一下，结论是对的。

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-26 13:27
我自己发现的一个公式

\[195 \tan ^{-1}\left(\frac{2978524660427}{790520789974362}\right)+19 \tan ^ ...

我知道你是怎么得来的了，利用了$37=6^2+1$

mathematica

lsr314 发表于 2020-11-27 00:11
我知道你是怎么得来的了，利用了$37=6^2+1$

1. ArcTan[1744507482180328366854565127/
   
2.   98646395734210062276153190241239] + 22 ArcTan[1/28]

复制代码

\[22 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{28}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1744507482180328366854565127}{98646395734210062276153190241239}\right)\]

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-27 08:55
\[22 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{28}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1744507482180328366854565127}{9 ...

这是平凡的，你任意指定正整数m和n，都能找到有理数y，使得$pi/4=m*arctan(1/n)+arctan(y)$.

mathematica

lsr314 发表于 2020-11-27 09:32
这是平凡的，你任意指定正整数m和n，都能找到有理数y，使得$pi/4=m*arctan(1/n)+arctan(y)$.

你能找三项的吗？

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-27 10:02
你能找三项的吗？

那不是很简单，比如先预设前面两项是$2arctan(1/3)+3arctan(1/5)$,
计算$y=tan(pi/4-2arctan(1/3)-3arctan(1/5))=-102/211$,
所以$pi/4=2arctan(1/3)+3arctan(1/5)-arctan(102/211)$.

mathematica

lsr314 发表于 2020-11-27 10:25
那不是很简单，比如先预设前面两项是$2arctan(1/3)+3arctan(1/5)$,
计算$y=tan(pi/4-2arctan(1/3)-3arct ...

晕，我要的是分子都是1的，且要求收敛尽可能快的

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-27 10:35
晕，我要的是分子都是1的，且要求收敛尽可能快的

Machin-Like Formulas

mathematica

lsr314 发表于 2020-11-27 10:41
Machin-Like Formulas

这个我看过，我想项数少，且收敛快

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-27 10:44
这个我看过，我想项数少，且收敛快

你不是要三项吗，那里三项，四项的都有，引用的已经是目前最好的结果了