数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: mathematica

[分享] 计算圆周率的马青公式

[复制链接]
发表于 2020-11-26 20:51:47 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-11-26 20:37
给定有理数$p,q$,问是否存在整数$a,b$,满足$a arctan p+b arctan q=pi/4$.
比如,是否存在整数$a,b$,满足 ...


华罗庚的书有,m*arctan(1/x) + n*arctam(1/y)=k*pi/4,只有四组解
{k, m, n, x, y} = {1, 1, 1, 2, 3}, {1, 2, -1, 2, 7}, {1, 2, 1, 3, 7}, {1, 4, -1, 5, 239}

点评

应该是印刷错误,我看了习题解答,是在k,m,n指定的情况下只有那几组解,没有证明m,n取其他值的时候方程无解。最基本的,k,m,n同时乘以一个整数的时候原方程仍然成立,但是题目里没有提到互素的条件  发表于 2020-11-26 22:24
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:02:49 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-11-26 20:51
华罗庚的书有,m*arctan(1/x) + n*arctam(1/y)=k*pi/4,只有四组解
{k, m, n, x, y} = {1, 1, 1, 2,  ...

在哪个章节?

点评

应该是印刷错误,我看了习题解答,是在k,m,n指定的情况下只有那几组解,没有证明m,n取其他值的时候方程无解。最基本的,k,m,n同时乘以一个整数的时候原方程仍然成立,但是题目里没有提到互素的条件  发表于 2020-11-26 22:24
《数论导引》第11章之习题7  发表于 2020-11-26 21:08
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:10:44 | 显示全部楼层
$pi/4=arctan(2/3) + arctan(1/5)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:11:34 | 显示全部楼层
$pi/4=2arctan(2/5) + arctan(1/41)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:21:47 | 显示全部楼层
这里有篇文章,https://arxiv.org/pdf/1712.04414.pdf,说迭代 10 次就能得到 165 位的有效数字, 迭代 20 次得到 330 位的有效数字。
At M = 10 number of correct digits is 165
At M = 20 number of correct digits is 330
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:22:49 | 显示全部楼层
$pi/4=arctan(3/4)+arctan(1/7)$
$pi/4=arctan(3/5)+arctan(1/4)$
$pi/4=2 arctan(3/7)-arctan(1/41)$
$pi/4=2 arctan(3/79)+5arctan(1/7)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:33:51 | 显示全部楼层
$(a+1)(b+1)=2  \Rightarrow pi/4=arctana+arctanb$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:38:10 | 显示全部楼层
$b=(1-a^2-2a)/(1-a^2+2a) \Rightarrow pi/4=2arctana+arctanb$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 21:55:35 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 16:47
\[15 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{19}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{286644039689150}{85622297652490149} ...

这些发现没有意义,因为对于任意整数a和有理数p,$t=tan(a arctan(p))$都是有理数,所以$pi/4=a arctan(p)+arctan ((1-t)/(1+t))$恒成立。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-26 23:32:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-11-26 13:27
我自己发现的一个公式

\[195 \tan ^{-1}\left(\frac{2978524660427}{790520789974362}\right)+19 \tan ^ ...

不过2#的这个结论不是平凡的,不知道你是怎么得来的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-1-20 14:57 , Processed in 0.055726 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表