计算圆周率的马青公式

uk702

lsr314 发表于 2020-11-26 20:37
给定有理数$p,q$,问是否存在整数$a,b$，满足$a arctan p+b arctan q=pi/4$.
比如，是否存在整数$a,b$,满足 ...

华罗庚的书有，m*arctan(1/x) + n*arctam(1/y)=k*pi/4，只有四组解
{k, m, n, x, y} = {1, 1, 1, 2, 3}, {1, 2, -1, 2, 7}, {1, 2, 1, 3, 7}, {1, 4, -1, 5, 239}

lsr314

uk702 发表于 2020-11-26 20:51
华罗庚的书有，m*arctan(1/x) + n*arctam(1/y)=k*pi/4，只有四组解
{k, m, n, x, y} = {1, 1, 1, 2,  ...

在哪个章节？

lsr314

$pi/4=arctan(2/3) + arctan(1/5)$

lsr314

$pi/4=2arctan(2/5) + arctan(1/41)$

uk702

这里有篇文章，https://arxiv.org/pdf/1712.04414.pdf，说迭代 10 次就能得到 165 位的有效数字， 迭代 20 次得到 330 位的有效数字。
At M = 10 number of correct digits is 165
At M = 20 number of correct digits is 330

lsr314

$pi/4=arctan(3/4)+arctan(1/7)$
$pi/4=arctan(3/5)+arctan(1/4)$
$pi/4=2 arctan(3/7)-arctan(1/41)$
$pi/4=2 arctan(3/79)+5arctan(1/7)$

lsr314

$(a+1)(b+1)=2  \Rightarrow pi/4=arctana+arctanb$

lsr314

$b=(1-a^2-2a)/(1-a^2+2a) \Rightarrow pi/4=2arctana+arctanb$

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-26 16:47
\[15 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{19}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{286644039689150}{85622297652490149} ...

这些发现没有意义，因为对于任意整数a和有理数p,$t=tan(a arctan(p))$都是有理数，所以$pi/4=a arctan(p)+arctan ((1-t)/(1+t))$恒成立。

lsr314

mathematica 发表于 2020-11-26 13:27
我自己发现的一个公式

\[195 \tan ^{-1}\left(\frac{2978524660427}{790520789974362}\right)+19 \tan ^ ...

不过2#的这个结论不是平凡的，不知道你是怎么得来的？