圆周率近似问题

wayne

发现5次幂有一个很特别,很快就可以得到一个更优的答案: $\root{5}{306+\frac{4+1}{2^8-9+7}}$

无心人

楼上结果是3.1415926541 另外，没说不用多重根式啊？ 因为允许用括号 多重根式等价于括号

winxos

40# wayne 我搜索了pi^2~pi^7的范围，如果指数太大了的话，要比较好的逼近基本不行，数码太多了。 我想的是形式如pi^n{+-}a/b的，有很多可以突破密率的点。

winxos

41# wayne 本帖最后由 wayne 于 2009-9-22 22:22 编辑 这个时间戳比较强大。

winxos

(09:39) gp > for(n=2,20,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,2)))) 2 0.5789117195436464145561326105 3 0.7094503812163950291776036650 4 0.8759691969420543306019548507 5 1.104332136279195329329045689 6 1.444871831032388673739781379 7 2.016774145752422714101738025 8 3.193199467682812457163686806 9 7.062513305931045769793005154 10 -48.34419540553775208751589815 11 -5.713236543179181303722334790 12 -3.100689032640374467328935705 13 -2.155364622733863911669167438 14 -1.666486871664093497695039348 15 -1.367258306803211187911325917 16 -1.164948091581371923619676817 17 -1.018835235497639252055758998 18 -0.9082255901174675632398766130 19 -0.8214859384652905486393305830 20 -0.7515726838355754648019712862 (09:40) gp > for(n=20,40,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,3)))) 20 2.340960761740321712770189418 21 2.613228053939470401189606909 22 2.945045542061082907937040252 23 3.358796664876270375299606986 24 3.889635286508891379243279895 25 4.596118069344520757600400567 26 5.583579379704131195787769495 27 7.062513305931045769793005154 28 9.523475593193666485418280026 29 14.43504942859066267062489248 30 29.10348379743818675579215442 31 4716.954467927650998614749697 32 -30.11191060264592803475728793 33 -15.16491624875503290729528378 34 -10.20208830203474847684216119 35 -7.723578882913046624021303051 36 -6.236957146389816023043593503 37 -5.245786113549072049193665059 38 -4.537560155857015705897835392 39 -4.006108683989783887154611209 40 -3.592479994015142487366139134 (09:42) gp > for(n=85,110,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,4)))) 85 9.503681913117348201018416223 86 10.38087351059553392922138433 87 11.42637186994978621446788449 88 12.69384452936037441316368849 89 14.26248722439884427760187398 90 16.25425151212895469958536160 91 18.86720038303310840587621485 92 22.44586337396626219108235725 93 27.64733265636248085095044663 94 35.89968822838070309079357009 95 51.00216126146218744268360094 96 87.53889560759854974759358910 97 302.6945070629863475686737474 98 -210.3655497420919695161383566 99 -78.43449799390939874133357355 100 -48.34419540553775208751589815 101 -35.01250245163089107428113770 102 -27.48825451375296530499651166 103 -22.65526658461091873433030754 104 -19.28855552309749936732961007 105 -16.80863820886300456757888221 106 -14.90584369670200686567193994 107 -13.39965284129858646718133857 108 -12.17772534571635285574862893 109 -11.16648927917083461371587823 110 -10.31574569831984212157272670 (09:43) gp > for(n=290,320,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,5)))) 290 29.75947079546271694381246407 291 31.78411503877670666793548341 292 34.09752405246630193416953118 293 36.76623546304249316159306445 294 39.87892977938032884690560262 295 43.55647735998313927356611767 296 47.96800171757370819173642895 297 53.35762832210741189768428453 298 60.09124576366841276227048172 299 68.74323551594439270521563980 300 80.26964785085423404350597941 301 96.38837391572479748695475588 302 120.5267833170681988587935964 303 160.6522819119155234823799947 304 240.5117791833405313459355316 305 477.0061075408785436133759173 306 24741.59185999029575563289802 307 -497.4615681676298835950636968 308 -246.5791975746231363325897837 309 -164.0561718548807498528557153 310 -122.9985131757837514471314040 311 -98.42866654434718585299173719 312 -82.07559098107105419119431876 313 -70.40788302546274601116429312 314 -61.66419634264993622320652123 315 -54.86772112458899072391409168 316 -49.43314213203053134700869987 317 -44.98836759707381711133237343 318 -41.28554013253799658066224542 319 -38.15318181526791849342448528 320 -35.46887739721105798546156849 (09:45) gp >

winxos

41# wayne 我楼上的搜索是形如sqrtn(pi,n){+-}a/b形式的，跟liang的有点出入，但是候选数应该是一样的。 比如5次的时候 1/det得到了24742，这就是说$root{5}{306}+1/24742$会是一个比较接近的数，它也可以突破密率。 其实可以放宽点视角，完全不用看整数部分，而应该是看如何在数码较少的情况下得到尽量少的余数。 可以看到对于5次来说，305也是一个比较好的数，a/b取1/477; 296也不错，想办法让a/b接近1/47.968 310也可以，a/b接近-1/123 但是对于5次来说还是觉得有点大，在低次里面 4次：94，95，97都不错 3次：31是最佳数选 2次：8，12可以入选 GP用的不熟练，要不可以写一个自动搜索的。。。

wayne

46# winxos 用Mathematica的Manipulate特别方便搜索

northwolves

学习了。 哪位有兴趣把这个接着往下做？ http://topic.csdn.net/u/20070825 ... b-582af245141a.html

gxqcn

点进去看了下，也蛮有意思的。

无心人

呵呵 那个和这个不同 那个至少有个头绪啊 这个自由度大多了 或许存在个极端复杂的式子呢 比如$sqrt(1 + sqrt(2 + sqrt(5 - sqrt(7) + sqrt(9) - sqrt(sqrt(3) + 4 + root{6}{80}))))$ 等等的