圆周率近似问题

wayne

发现5次幂有一个很特别,很快就可以得到一个更优的答案:

$\root{5}{306+\frac{4+1}{2^8-9+7}}$

无心人

楼上结果是3.1415926541

另外，没说不用多重根式啊？
因为允许用括号
多重根式等价于括号

winxos

40# wayne
我搜索了pi^2~pi^7的范围，如果指数太大了的话，要比较好的逼近基本不行，数码太多了。
我想的是形式如pi^n{+-}a/b的，有很多可以突破密率的点。

winxos

41# wayne
本帖最后由 wayne 于 2009-9-22 22:22 编辑
这个时间戳比较强大。

winxos

(09:39) gp > for(n=2,20,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,2))))
2 0.5789117195436464145561326105
3 0.7094503812163950291776036650
4 0.8759691969420543306019548507
5 1.104332136279195329329045689
6 1.444871831032388673739781379
7 2.016774145752422714101738025
8 3.193199467682812457163686806
9 7.062513305931045769793005154
10 -48.34419540553775208751589815
11 -5.713236543179181303722334790
12 -3.100689032640374467328935705
13 -2.155364622733863911669167438
14 -1.666486871664093497695039348
15 -1.367258306803211187911325917
16 -1.164948091581371923619676817
17 -1.018835235497639252055758998
18 -0.9082255901174675632398766130
19 -0.8214859384652905486393305830
20 -0.7515726838355754648019712862
(09:40) gp > for(n=20,40,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,3))))
20 2.340960761740321712770189418
21 2.613228053939470401189606909
22 2.945045542061082907937040252
23 3.358796664876270375299606986
24 3.889635286508891379243279895
25 4.596118069344520757600400567
26 5.583579379704131195787769495
27 7.062513305931045769793005154
28 9.523475593193666485418280026
29 14.43504942859066267062489248
30 29.10348379743818675579215442
31 4716.954467927650998614749697
32 -30.11191060264592803475728793
33 -15.16491624875503290729528378
34 -10.20208830203474847684216119
35 -7.723578882913046624021303051
36 -6.236957146389816023043593503
37 -5.245786113549072049193665059
38 -4.537560155857015705897835392
39 -4.006108683989783887154611209
40 -3.592479994015142487366139134
(09:42) gp > for(n=85,110,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,4))))
85 9.503681913117348201018416223
86 10.38087351059553392922138433
87 11.42637186994978621446788449
88 12.69384452936037441316368849
89 14.26248722439884427760187398
90 16.25425151212895469958536160
91 18.86720038303310840587621485
92 22.44586337396626219108235725
93 27.64733265636248085095044663
94 35.89968822838070309079357009
95 51.00216126146218744268360094
96 87.53889560759854974759358910
97 302.6945070629863475686737474
98 -210.3655497420919695161383566
99 -78.43449799390939874133357355
100 -48.34419540553775208751589815
101 -35.01250245163089107428113770
102 -27.48825451375296530499651166
103 -22.65526658461091873433030754
104 -19.28855552309749936732961007
105 -16.80863820886300456757888221
106 -14.90584369670200686567193994
107 -13.39965284129858646718133857
108 -12.17772534571635285574862893
109 -11.16648927917083461371587823
110 -10.31574569831984212157272670
(09:43) gp > for(n=290,320,print(n," ",1/(Pi-sqrtn(n,5))))
290 29.75947079546271694381246407
291 31.78411503877670666793548341
292 34.09752405246630193416953118
293 36.76623546304249316159306445
294 39.87892977938032884690560262
295 43.55647735998313927356611767
296 47.96800171757370819173642895
297 53.35762832210741189768428453
298 60.09124576366841276227048172
299 68.74323551594439270521563980
300 80.26964785085423404350597941
301 96.38837391572479748695475588
302 120.5267833170681988587935964
303 160.6522819119155234823799947
304 240.5117791833405313459355316
305 477.0061075408785436133759173
306 24741.59185999029575563289802
307 -497.4615681676298835950636968
308 -246.5791975746231363325897837
309 -164.0561718548807498528557153
310 -122.9985131757837514471314040
311 -98.42866654434718585299173719
312 -82.07559098107105419119431876
313 -70.40788302546274601116429312
314 -61.66419634264993622320652123
315 -54.86772112458899072391409168
316 -49.43314213203053134700869987
317 -44.98836759707381711133237343
318 -41.28554013253799658066224542
319 -38.15318181526791849342448528
320 -35.46887739721105798546156849
(09:45) gp >

winxos

41# wayne
我楼上的搜索是形如sqrtn(pi,n){+-}a/b形式的，跟liang的有点出入，但是候选数应该是一样的。
比如5次的时候

1/det得到了24742，这就是说$root{5}{306}+1/24742$会是一个比较接近的数，它也可以突破密率。
其实可以放宽点视角，完全不用看整数部分，而应该是看如何在数码较少的情况下得到尽量少的余数。
可以看到对于5次来说，305也是一个比较好的数，a/b取1/477;
296也不错，想办法让a/b接近1/47.968
310也可以，a/b接近-1/123
但是对于5次来说还是觉得有点大，在低次里面
4次：94，95，97都不错
3次：31是最佳数选
2次：8，12可以入选

GP用的不熟练，要不可以写一个自动搜索的。。。

wayne

46# winxos


用Mathematica的Manipulate特别方便搜索

northwolves

学习了。
哪位有兴趣把这个接着往下做？
http://topic.csdn.net/u/20070825 ... b-582af245141a.html

gxqcn

点进去看了下，也蛮有意思的。

无心人

呵呵

那个和这个不同
那个至少有个头绪啊

这个自由度大多了

或许存在个极端复杂的式子呢
比如$sqrt(1 + sqrt(2 + sqrt(5 - sqrt(7) + sqrt(9) - sqrt(sqrt(3) + 4 + root{6}{80}))))$
等等的