最大面积重叠问题

wayne

是圆锥曲线.
mathe 发表于 2009-9-22 13:56

呵呵，莫非是因为 x,y,z之间是二次关系？

但x,y不是平面直角坐标系上的x,y啊，
我只能推到以三角形两个边及其夹角构成一个斜坐标系，那么，x，y之间存在二次多项式的关系。
还不能确定转换为直角坐标关系能不能保次，感觉会变成四次关系，

数学星空

若已知三角形为锐角三角形:
以端点A为坐标原点,底边AB(正向)为X轴建立直角坐标系有
Y1=z
X1=(y+cosA*z)/sinA
由前面的讨论知:
k是方程$a*sqrt(r^2*k^2-a^2)+b*sqrt(r^2*k^2-b^2)+c*sqrt(r^2*k^2-c^2)=k*s$ 的正根
$x=sqrt(r^2-(a/k)^2) ,y=sqrt(r^2-(b/k)^2) ,z=sqrt(r^2-(c/k)^2) $
$s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) ,p=1/2*(a+b+c)$
$cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)$
最后化简有:
$x^2*(sinA)^2=y^2+(c^2-b^2)/k^2+y^2*(cosA)^2+2*y*cosA*sqrt(y^2+(c^2-b^2)/k^2)$

mathe

呵呵，莫非是因为 x,y,z之间是二次关系？

但x,y不是平面直角坐标系上的x,y啊，
我只能推到以三角形两个边及其夹角构成一个斜坐标系，那么，x，y之间存在二次多项式的关系。
还不能确定转换为直角坐标关系能 ...
wayne 发表于 2009-9-23 11:43

这个叫做仿射坐标系.
圆锥曲线在仿射坐标系下面还是二次型,而且同样可以只根据二次系数的关系判断是椭圆型,抛物型还是双曲型.

wayne

13# mathe

学习了.

谢谢mathe

数学星空

若已知三角形为锐角三角形:
以端点A为坐标原点,底边AB(正向)为X轴建立直角坐标系有
Y1=z
X1=(y+cosA*z)/sinA
由前面的讨论知:
k是方程$a*sqrt(r^2*k^2-a^2)+b*sqrt(r^2*k^2-b^2)+c*sqrt(r^2*k^2-c^2)=k*s$ 的正根
$x=sqrt(r^2-(a/k)^2) ,y=sqrt(r^2-(b/k)^2) ,z=sqrt(r^2-(c/k)^2) $
$s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) ,p=1/2*(a+b+c)$
$cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)$
最后化简有:
$(c*sinA)^2*x^2=(c^2-b^2)*r^2+(b^2+(c*cosA)^2)*y^2+2*c*y*cosA*sqrt((c^2-b^2)*r^2-(c*y)^2)$    (当锐角三角形固定,圆半径大小在内切圆和外接圆半径之间变化时)

mathe

方程还是写成:
$a*sqrt(r^2-h^2a^2)+b*sqrt(r^2-h^2b^2)+c*sqrt(r^2-h^2c^2)-2S=0$
比较好,容易看出,上面方程左边在$0<=h<=min{r/a,r/b,r/c}$时是h的单调函数.所以最多一个解.

mathabc

大家的储备好深厚啊！

impcimpc

神奇

BBTiger

我觉得这题好难，众大仙高手啊

KeyTo9_Fans

这道题目是2009年上海东华大学ACM邀请赛试题之一。

KeyTo9_Fans（即题目描述中的YY）是此次邀请赛的命题负责人。

此次竞赛共设10道题，其中有7道题是KeyTo9_Fans设计的。

除了三角形和圆的题目，还有一道题是mathe很感兴趣的：

http://www.spoj.pl/problems/EXPR3/

此题要求统计本质不同的四则运算表达式的数目。

本来KeyTo9_Fans只做到n=18。

感谢mathe提供了高效的算法，一举突破n=100大关，显著地提高了此题的价位，并为答案的正确性提供了优质的保障。

http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... p;extra=&page=5

关于三角形和圆的问题，当时KeyTo9_Fans并没有得到最优解的表达式，用的是瞎子爬山的方法：



在三角形内任找一点作为圆心，然后往重叠面积大的方向走。

只要每次步长减小得恰当，在几十步之内一定可以爬到山顶。

在座的各位大牛给出了精确的公式解，让小弟学习了。