最大面积重叠问题

gxqcn

KeyTo9_Fans 果然是高高手，可以为高手命题，佩服啊。

wool

想看一下隐藏内容 PS: 貌似只有用IE才能正确的看到公式?

gxqcn

数学公式在 FireFox 也可以看到的，Chrome 里表现可能欠佳。

shshsh_0510

这题比较容易。我觉得如果固定圆，伸缩三角形的大小，考虑起来更清晰一些

shshsh_0510

KeyTo9_Fans厉害，满脑子稀奇古怪的题目，除了涉猎渊博之外，恐怕还需要奇特的大脑构造

文学毛毛虫

该如何编程解决呢？

pepeet

看3楼回复

hujunhua

有一个力学模型可以简单地解释这个驻点的特性。而且由这个模型可以得出，即使把圆换成其它的封闭凸曲线，结论也同样成立。

hujunhua

但是，一般封闭凸曲线与圆的区别是，“截三边的弦长同对应边长度成比例”只是必要条件之一，不是充分条件。这个条件在力学模型中对应于静力平衡条件，但是仅静力平衡不足以使系统保持静止，还需要一个力矩平衡条件。在圆的情况下，由于作用于圆周的法向力都指向圆心，总是共点力，所以力矩总是平衡的，勿需考虑。

hujunhua

正如2#所说，问题可以转化为求圆不与三角形重叠部分的面积的最小值。假定在这不重叠部分封闭着表面张力为  σ 的液膜，圆和三角形在液膜的表面张力作用下会发生相对移动，直到三部分的表面张力达到平衡，这时液膜系统自由能σA（A是液膜面积）达到最小，即面积达到最小。
液膜对圆的作用力均布于所润湿的圆弧，在圆弧的每一点都沿着圆弧在该点的法向，所以皆指向圆心，故为共点力系。液膜对三角形的作用力等价于圆对液膜的反作用力，故也是共点力系（液膜对三角形的作用力也可以直接分析，它均布于液膜所润湿的边，并垂直于边向外，对每一边的合力等价于作用于润湿段中点且垂直于边的一个力，显然三个边的力都指向圆心）。所以圆和三角形都不会在液膜的作用下发生旋转（即合力矩恒为零），所以只要静力平衡即可，即Fa+Fb+Fc=0。
Fa=-iσx, Fb=-iσy, Fc=-iσz
前面的系数-i表明力向量与边向量的转角关系。（顺时针90度）
故可得 x+y+z=0,   这表明向量x, y, z可构成一个三角形，由于它们对应平行于三角形ABC的三边，所以相似，故|x|:|y|:|z|=a：b：c.


当圆换成其它封闭凸曲线时，Fa+Fb+Fc=0仍然是驻点的属性，所以仍然成立x+y+z=0, 从而成立|x|:|y|:|z|=a：b：c。只是，合力矩不再恒零，所以一般来说曲线和三角形会发生相对转动。考虑合力矩为零的条件，可以得到驻点另一个约束条件，与|x|:|y|:|z|=a：b：c联立方是充要条件。