找反例 P_i+mP_j=2N-(-1)^{m-1} 当合成数≥3(m+1)时有素数解

白新岭

找反例\(P_i+mP_j=2N+(-1)^{m-1}\)当合成数≥3(m+1)时有素数解，而且合成数|m的余数不为0，合成数不能含m的因子（除偶数2以外）。当m=1时，为歌猜；m=2时，不是弱歌猜的推论，它的难度与歌猜等价，一个当次，此时是合成数为大于等于9的奇数；当m=3时，合成数为大于等于12的偶数，偶数不能被3整除，整除时无解，只有个别6n类偶数有唯一的一组解；当m=4时，合成数大于等于15时，有解，合成数为奇数；当m=5时，合成数大于等于18时有解，合成数为偶数，10n的偶数无解；.......。

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在\(P_i+4P_j\)=2N+1中，有21和77两个反例

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在\(P_i+5P_j\)=2N中，有一个反例24.

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在\(P_i+6P_j\)=2N+1中没有反例

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在\(P_i+7P_j\)=2N中，有两个反例30和36

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在\(P_i+8P_j\)=2N+1中，存在33,39,49,89这四个反例（有素数解的条件是2N+1≥3*（1+8）=27，以后的奇数）。

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在\(P_i+9P_j\)=2N(N≥15）中没有反例，在\(P_i+2P_j\)，或\(P_i+3P_j\)中无反例。

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在\(P_i+10P_j\)=2N+1(N≥16）中有反例39和51两个。

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在\(P_i+11P_j\)=2N(N≥18）中有反例42,48,54.

mathe

很显然哥猜可以有推广:
对于任意(u,v)=1, 那么
i)如果uv是奇数, 那么任意充分大的和u,v都互素的偶数N必然可以表示为uP+vQ,其中P,Q为素数
ii)如果uv是偶数，那么任意充分大的和u,v都互素的奇数N必然都可以表示为uP+vQ,其中P,Q为素数。
但是这个充分大会有多大，就很难说了，难以避免会出现一些偏大的异常情况