5 个数算 24

王守恩

王守恩 发表于 2022-8-31 13:52
4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，凑出 36 的倍数；

求助各位网友！卡住了！能找出反例来 ...

求证：4个不同一位数，总能通过四则运算(加减乘除,括号)凑出 24。

gxqcn

王守恩 发表于 2022-9-1 09:16
求证：4个不同一位数，总能通过四则运算(加减乘除,括号)凑出 24。

请试试：1 6 7 8 和 3 4 6 7

gxqcn

王守恩 发表于 2022-8-29 10:05
谢谢各位好友！好玩的游戏！继续开发！

求证：4个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号）， ...

请试试：1 4 11 13

王守恩

我纳闷的是19楼：

2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 3 的倍数；
3个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 9 的倍数；
4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 36 的倍数；
5个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 180 的倍数；
6个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 1080 的倍数；
7个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 7560 的倍数；
8个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 60480 的倍数；

3, 9, 36, 180, 1080, 7560, 60480 , 544320, 5443200, 59875200, 718502400,
9340531200, 130767436800, 1961511552000, 31384184832000, ......

\(\D a(n)=\frac{3n!}{2}\)      参考《整数序列在线百科全书(OEIS)》A070960。
a(n) 是可以从整数 {1, 2, 3, ..., n} 中使用每个数字最多一次和运算符 +、-、*、/ 获得的最大整数。

各位网友！能提供相关资料，谢谢！

mathe

王守恩 发表于 2022-8-31 13:52
4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，凑出 36 的倍数；

求助各位网友！卡住了！能找出反例来 ...

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36001 36002 36007 36011
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...
36026 36028 36032 36033
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王守恩

mathe 发表于 2022-9-1 16:21
36001 36002 36004 36010
36001 36002 36004 36011
36001 36002 36004 36012

36001 36002 36004 36010=01,02,04,10=4*(10-1)
36001 36002 36004 36011=01,02,04,11=4*(11-2)
36001 36002 36004 36012=01,02,04,12=4*(12-1-2)
36001 36002 36004 36013=01,02,04,13=(2+4)*(13-1)
36001 36002 36004 36014=01,02,04,14=(4-1)*(14-2)
36001 36002 36004 36015=01,02,04,15=4*(15+1+2)
36001 36002 36004 36017=01,02,04,17=4*(17+1)
36001 36002 36004 36019=01,02,04,17=4*(17+1)
36001 36002 36004 36021=01,02,04,15=4*(15+1+2)
36001 36002 36004 36022=01,02,04,14=(4-1)*(14-2)
36001 36002 36004 36023=01,02,04,13=(2+4)*(13-1)
36001 36002 36004 36024=01,02,04,12=4*(12-1-2)
36001 36002 36004 36025=01,02,04,11=4*(11-2)
36001 36002 36004 36026=01,02,04,10=4*(10-1)
36001 36002 36005 36012=01,02,05,12=12*(1+2)
36001 36002 36005 36013=01,02,05,13=(13-1)*(5-2)
36001 36002 36005 36017=01,02,05,17=(1+17)*(5-2)
36001 36002 36005 36019=01,02,05,17=(1+17)*(5-2)
36001 36002 36005 36023=01,02,05,13=(5-2)*(13-1)
36001 36002 36005 36024=01,02,05,12=12*(5-2)
36001 36002 36006 36010=01,02,06,10=6*(2+10)
36001 36002 36006 36014=01,02,06,14=6*(14-2)
36001 36002 36006 36016=01,02,06,16=6*(2+16)
36001 36002 36006 36017=01,02,06,17=2*(1+17)
36001 36002 36006 36019=01,02,06,17=6*(1+17)
36001 36002 36006 36020=01,02,06,16=6*(2+16)
36001 36002 36006 36022=01,02,06,14=6*(14-2)
36001 36002 36006 36026=01,02,06,10=6*(10+2)
36001 36002 36007 36011=01,02,07,11=(1+11)*(2+7)
36001 36002 36007 36012=01,02,07,12=12*(7-1)
36001 36002 36007 36016=01,02,07,16=(2+16)*(1+7)
...
36026 36028 36032 36033=10,08,04,03=4*(10+8)
36026 36028 36032 36035=10,08,04,01=4*(10+8)
36026 36029 36031 36032=10,07,05,04=(10-4)*(7+5)
36026 36030 36034 36035=10,06,02,01=6*(10+2)
36026 36031 36032 36033=10,05,04,01=4*(10-1)
36026 36032 36034 36035=10,04,02,01=12*(1+2)
36027 36029 36030 36031=09,07,06,05=6*(7+5)
36028 36030 36032 36035=08,06,04,01=6*(8+4)
36029 36030 36031 36033=07,06,05,03=3*(5+6+7)

凡是有4,6,9,12,18的都有解，因为对应的9,6,4,3,2都可以有3个数凑成。

mathe

的确任意4个数通过加减乘必然有一种表达式可以达到36的倍数。

mathe

我试验了一下，给定任意4个整数，那么必然可以让它们通过加减乘，得到某个整数N的倍数。
对于N=12,13,14,24,25,26,27,28,30,36, 40都没有找出反例。
但是n=29,31有反例，比如1 8 10 13得不到29倍数，1 3 9 15得不到31倍数

王守恩

mathe 发表于 2022-9-1 21:55
的确任意4个数通过加减乘必然有一种表达式可以达到36的倍数。

我们已经有(2),(3)，

(2),2个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 3 的倍数；

(3),3个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 9 的倍数；

(4),4个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出36的倍数；

对于(4)来说，模36，4个数有36^4种可能。

剪去一些明显有解的：

1，2个数的余数相同；

2，2个数的余数互补。

3，1个数的余数是0,4,6,9,12,18；

剩下495种可能。495=\(\frac{12*11*10*9}{1*2*3*4}\)

逐一检查，手工勉强可以。

(5),5个不同正整数，通过四则运算(加减乘除,括号)，最大能凑出 180 的倍数；

对于(5)，或者更大，我是无能为力的。

王守恩

mathe 发表于 2022-9-2 07:45
我试验了一下，给定任意4个整数，那么必然可以让它们通过加减乘，得到某个整数N的倍数。
对于N=12,13,14,2 ...

40是不可能的吧?譬如：1,2,3,4,  1,2,3,7,  1,2,3,9,  1,4,5,7,

看来3, 9, 36, 180, 1080, 7560, ...这串数还不是最大的数。