如何求出这个三元方程组的数值解？

TSC999

已知 S25=25，S20=20，S12=12，如何由前面三个方程解出 R、u、v 三个未知数（已知它们都是正的实数）？或者由前面三个方程求出第四个式子的值也行。
由反正弦表示的角度均在 0 到 180 度之间，四个角度之和等于 360 度。

nyy

我只能建议你用牛顿迭代法慢慢搞

FindRoot伺候

nyy

你至少也要把代码粘贴成文本，搞上来，难道你指望别人对着你的图片把公式输入到mathematica，然后求解？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

hujunhua

我倒是觉得应该把原始问题提出来。

TSC999

原始问题及解答是：

nyy

TSC999 发表于 2023-8-11 16:24
以上只是 S 的数字解答。谁能给出 S 的公式表达？

高精度数值解，然后RootA*，这个函数去找精确解（如果能找到的话！）

creasson

若 $a$, $b$是方程组
\[\left\{ \begin{array}{l}
37a + 8\pi  + 37\sin a + 90\sin b - 90\sin (a + b) = 0 \\
13a + 90b + 32\pi  - 32\sin a - 45\sin (a + 2b) = 0 \\
\end{array} \right.\]
在 a -> -0.387047， b -> -1.286039 附近的解，则所求面积为
\[S = \frac{{57a + 33\pi  + 57\sin a}}{{\pi  - a - \sin a}}\]

1. Clear["Global`"];
   
2. eqs = {37 a + 8 \[Pi] + 37 Sin[a] + 90 Sin[b] - 90 Sin[a + b],
   
3.    13 a + 90 b + 32 \[Pi] - 32 Sin[a] - 45 Sin[a + 2 b]};
   
4. sols = FindRoot[eqs == 0, {a, -0.5}, {b, -1}, WorkingPrecision -> 10];
   
5. area = (3 (19 a + 11 \[Pi] + 19 Sin[a]))/(-a + \[Pi] - Sin[a]);
   
6. Print["待求面积为: ", area /. sols]
   
7. points = {A -> 0,
   
8.    C -> (6 Sqrt[5] Sqrt[1 + Cos[a]])/Sqrt[-a + \[Pi] - Sin[a]],
   
9.    D -> (6 Sqrt[10] E^(-((I b)/2)) Cos[(a + b)/2])/
   
10.     Sqrt[-a + \[Pi] - Sin[a]],
    
11.    P -> (6 Sqrt[10] Cos[b/2] Cos[(a + b)/2])/
    
12.     Sqrt[-a + \[Pi] - Sin[a]],
    
13.    B -> (3 Sqrt[10] E^((I a)/2) (1 + E^(I b)))/
    
14.     Sqrt[-a + \[Pi] - Sin[a]]};
    
15. Print["各点的一个表示: ", points /. sols]

复制代码

结果约为: 15.38514806
各点的一个表示: {A->0,C->9.420979154,D->5.147813190+3.856986685 I,P->5.147813190,B->5.147813190-5.703276135 I}

creasson

creasson 发表于 2023-8-11 17:38
若 $a$, $b$是方程组
\[\left\{ \begin{array}{l}
37a + 8\pi  + 37\sin a + 90\sin b - 90\sin (a + b) ...

较完整的求解如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*获得各点的表示*)
   
3. points = {A->0, C->c,B->c ( 1 - I Tan[\[Theta]] )/(1 + I Tan[\[Phi] - \[Theta]]), D->c ( 1 - I Tan[\[Theta]] )/(1 - I Tan[\[Phi]]),T->c (1-I Tan[\[Theta]])/(1-I u)};
   
4. assums = {0 < \[Theta] < \[Pi]/2, \[Theta] < \[Phi] < \[Pi]/2};
   
5. AppendTo[points, P->Factor[ComplexExpand[Re[D/.points]]]//FullSimplify];
   
6. (*面积计算*)
   
7. kernel = -(1/2)Factor[ComplexExpand[Im[# * D[ComplexExpand[Conjugate[#]], u]]]]&@((T-P)/.points);
   
8. integral = Integrate[kernel, u];
   
9. area1 = Limit[integral, u->-Tan[\[Phi] - \[Theta]]] - Limit[integral, u->-\[Infinity]];
   
10. area1 = FullSimplify[area1, Assumptions->assums];
    
11. area2 = Limit[integral, u->Tan[\[Theta]]] - Limit[integral, u->-Tan[\[Phi] - \[Theta]]];
    
12. area2 = FullSimplify[area2, Assumptions->assums];
    
13. area3 = Limit[integral, u-> Tan[\[Phi]]] - Limit[integral, u->Tan[\[Theta]]];
    
14. area3 = FullSimplify[area3, Assumptions->assums];
    
15. area4 = Limit[integral, u->\[Infinity]] - Limit[integral, u->Tan[\[Phi]]];
    
16. area4 = FullSimplify[area4, Assumptions->assums];
    
17. areas = {area1, area2, area3, area4};
    
18. (*数值求解*)
    
19. eqs = {area1 - 25, area2 - 20, area3 - 12};
    
20. sols = FindRoot[ eqs == 0, {c, 5}, {\[Theta], \[Pi]/4}, {\[Phi], \[Pi]/3}, WorkingPrecision->100];
    
21. Print["待求区域面积为: ", area4/.sols];
    
22. (*公式求解, 消元参数c*)
    
23. eq1 = Factor[SubresultantPolynomialRemainders[eqs[[1]], eqs[[2]], c][[-1]]];
    
24. eq1 = FactorList[eq1][[-1]][[1]];
    
25. Print["条件式1：", eq1];
    
26. eq2 = Factor[SubresultantPolynomialRemainders[eqs[[3]], eqs[[2]], c][[-1]]];
    
27. eq2 = FactorList[eq2][[-1]][[1]];
    
28. Print["条件式2：", eq2];
    
29. eq3 = Factor[SubresultantPolynomialRemainders[(area4 - S), eqs[[2]], c][[-1]]];
    
30. eq3 = FactorList[eq3][[-1]][[1]];
    
31. Print["待求区域面积表示：", Solve[eq3 == 0, S]//Factor//Flatten];

复制代码

这将给出如下输出


再人工化简一下即可:

1. Clear["Global`"];
   
2. eqs = {32 \[Pi]+77 \[Theta]-90 \[Phi]+32 Sin[\[Theta]]-45 Sin[\[Theta]-2 \[Phi]], 8 \[Pi]-37 \[Theta]-37 Sin[\[Theta]]+90 Sin[\[Theta]-\[Phi]]+90 Sin[\[Phi]]};
   
3. sols = FindRoot[eqs == 0, {\[Theta], \[Pi]/2}, {\[Phi], (2 \[Pi])/3}, WorkingPrecision -> 1000];
   
4. area = (3 (11 \[Pi]-19 \[Theta]-19 Sin[\[Theta]]))/(\[Pi]+\[Theta]+Sin[\[Theta]]);
   
5. Print["待求面积为: ", area /. sols]

复制代码

这里所给的表示与前面的有细微差异.  

northwolves

令$u=Rcosx,v=Rcosy$
可得：
$R^2[ (\pi/4 + (x + y)/2) + (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y]] = 25$,
$R^2[(\pi/4 + (x - y)/2) - (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y] ]= 20$
$R^2[ (\pi/4 - (x + y)/2) - (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y] ]= 12$
$S=R^2[ (\pi/4 - (x - y)/2) + (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y]] $

Jack315

利用 Excel “规划求解” 得到的数值解：


应变量：
\[S=15.3851269409354\]

自变量值：
\[R=4.80009216042285\]
\[u=0.437324075395741\]
\[v=0.923145822993236\]