找回密码
 欢迎注册
楼主: TSC999

[求助] 如何求出这个三元方程组的数值解?

[复制链接]
发表于 2023-8-12 16:59:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2023-8-12 18:28 编辑

令$u=Rcosx,v=Rcosy$
可得:
$R^2[ (\pi/4 + (x + y)/2) + (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y]] = 25$,
$R^2[(\pi/4 + (x - y)/2) - (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y] ]= 20$
$R^2[ (\pi/4 - (x + y)/2) - (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y] ]= 12$
$S=R^2[ (\pi/4 - (x - y)/2) + (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y]] $

点评

nyy
这个题目也许更适合极坐标。  发表于 2023-8-12 19:32
1楼的式子转换的  发表于 2023-8-12 17:50
nyy
你这个是格林公式得到的?  发表于 2023-8-12 17:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-12 18:53:23 | 显示全部楼层
利用 Excel “规划求解” 得到的数值解:
圆内面积分割A.png

应变量:
\[S=15.3851269409354\]

自变量值:
\[R=4.80009216042285\]
\[u=0.437324075395741\]
\[v=0.923145822993236\]

点评

也玩了一下,LZ 的公式有没有问题现在不知道,但发现可能还有一个解,就是 S > 20 的情况。现在的答案好像都是 S < 20 的情况。  发表于 2023-8-14 09:04
nyy
Excel求解出来的面积,能有四位小数的精度,也算不错了!  发表于 2023-8-14 08:59
与 Excel “规划求解” 相对应的工具,在 Matlab 中为:数学和优化->Optimization Toolbox 。在 Mathematica 中为 Optimization :: NMinimize (适用本题的命令) 、 NMaximize ……等。  发表于 2023-8-13 20:21
用 1# 的公式计算 4 个部分的面积、与“给定值”的误差,并将所有误差的平方和设定为目标值。“规划求解”用其算法自动调整自变量的值,使得目标值达到最小,即求解出了 LZ 出的题。  发表于 2023-8-13 20:01
nyy
原理是什么??  发表于 2023-8-13 16:18
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-12 19:08:03 | 显示全部楼层
圆内面积分割.png

解题思路:
先求出相应的扇形面积,
再减去扇形内的不应包含的三角形面积;
或加上未包含在扇形内的三角形面积。

得到的方程组应该就是 1# 的公式。

点评

按比较画的话,坐标字符有点挤。在 PPT 里一般很难画得精确,只能有个示意性的。要用软件才能画得比较精确。  发表于 2023-8-14 12:40
挺好的图。如果弦心距按比例画就更好了。谢谢!  发表于 2023-8-14 12:28
必须的,君不见有多少人靠这 PPT 画的图吃饭的。  发表于 2023-8-12 19:32
nyy
PPT居然能画这么好的图!  发表于 2023-8-12 19:30
Microsoft Power Point,就是大名鼎鼎的 PPT 。  发表于 2023-8-12 19:26
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-12 19:31:11 | 显示全部楼层
Jack315 发表于 2023-8-12 19:08
解题思路:
先求出相应的扇形面积,
再减去扇形内的不应包含的三角形面积;

能不能把你画的PPT放在百度硬盘里面,然后给个链接共享一下?或者传到数学研发论坛的QQ群里?我想看看这个图。图做的确实不错。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-12 19:41:36 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2023-8-12 19:31
能不能把你画的PPT放在百度硬盘里面,然后给个链接共享一下?或者传到数学研发论坛的QQ群里?我想看看这 ...

承蒙抬举,这就奉上:
……

今天上传了较多的图片,
新人文件上传受限了
明天再来笑纳。


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-12 21:10:37 | 显示全部楼层
S1,S2,S3,S4之间满足啥关系?

点评

四个数之和等于一个圆的面积。  发表于 2023-8-13 10:12
只能得出: PA*PC=PB*PD  发表于 2023-8-12 23:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-13 06:36:06 | 显示全部楼层
PPT 草稿"合集“来了:

PPT.rar (67.5 KB, 下载次数: 6)

在 PPT 画好后贴到 “画图 (mspaint.exe)” 软件里转成图片就可以用了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-13 20:08:34 | 显示全部楼层
Jack315 发表于 2023-8-12 18:53
利用 Excel “规划求解” 得到的数值解:

Excel “规划求解” 计算工作薄:

圆内面积分割.rar (7.48 KB, 下载次数: 2)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-14 08:52:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2023-8-14 13:25 编辑
northwolves 发表于 2023-8-12 16:59
令$u=Rcosx,v=Rcosy$
可得:
$R^2[ (\pi/4 + (x + y)/2) + (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y]] =  ...

  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,输入参数:半径,圆弧起始弧度,圆弧终止弧度,水平长,竖直长.输出:面积=扇形-扇形对应的三角形+直角三角形*)
  4. area[R_,ang1_,ang2_,a_,b_]:=1/2*R^2((ang2-ang1)-Sin[(ang2-ang1)])+1/2*a*b
  5. (*水平与竖直长度赋值,此处ab是角度,上面ab是长度*)
  6. {ux,uy}=R*{Cos[a],Sin[a]}
  7. {vx,vy}=R*{Cos[b],Sin[b]}
  8. (*计算三个面积表达式*)
  9. a12=area[R,a,b,ux-vx,vy-uy]//Simplify
  10. a25=area[R,Pi-a,2*Pi-b,ux+vx,vy+uy]//Simplify
  11. a20=area[R,2*Pi-b,2*Pi+a,ux-vx,vy+uy]//Simplify
  12. (*牛顿迭代法求解圆的半径与两个角度*)
  13. ans=FindRoot[{a12==12,a25==25,a20==20},{{R,4},{a,10deg},{b,80deg}},WorkingPrecision->20]
  14. mj=Pi*R^2-(12+25+20)/.ans(*用圆的面积减去三个面积=需要求的面积*)
复制代码


我的代码,我用的是角度参数,与你的是应该是一回事。
求解结果
列方程
\[-\frac{1}{2} R^2 (\cos (b) (\sin (b)-2 \sin (a))+a+\sin (a) \cos (a)-b)=12\]
\[\frac{1}{2} R^2 (\cos (b) (2 \sin (a)+\sin (b))+a+\sin (a) \cos (a)-b+\pi )=25\]
\[\frac{1}{2} R^2 (-\cos (b) (2 \sin (a)+\sin (b))+a+\sin (a) \cos (a)+b)=20\]
方程组求解结果
{R->4.8000946072772487659,a->0.19352372398043376605,b->1.4795625234825034378}
所需要求的面积
15.38514805508871343
CD两点与圆心连线所对应的角度(角度制)
{11.088092619733534828,84.772688121273200768}

我的代码对应的图片,不过多解释,很容易看懂。

原本引用的图片被删除了,太占用屏幕,故删除。


QQ截图20230814132148.png

点评

这个图没画好(弦心距没按比例画),5楼的图是对的。  发表于 2023-8-14 15:39
应该没有解析解  发表于 2023-8-14 09:46
nyy
没想到我也能解答这个看起来复杂的问题  发表于 2023-8-14 09:32
nyy
此处为了节省论坛空间,引用的图片,非上传  发表于 2023-8-14 08:53
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-14 10:56:12 | 显示全部楼层
Jack315 发表于 2023-8-12 18:53
利用 Excel “规划求解” 得到的数值解:
也玩了一下,LZ 的公式有没有问题现在不知道,但发现可能还有一个解,就是 S > 20 的情况。现在的答案好像都是 S < 20 的情况。


我觉得这个题目应该只有一个解,如果有别的解,你不妨把答案贴上来,让大家都来研究研究!

点评

比较赞同王守恩的看法。现在还没做出结果……但不管最终有几个解,可能的情况确实应该不止一种。就算面积是按 1 # 的那样排列,也应该有两种情况。  发表于 2023-8-14 11:26
R应该有3个解(6种变化): S的对面=12,S的对面=20,S的对面=25。  发表于 2023-8-14 11:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-6-13 06:29 , Processed in 0.047519 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表