如何求出这个三元方程组的数值解？

northwolves

令$u=Rcosx,v=Rcosy$
可得：
$R^2[ (\pi/4 + (x + y)/2) + (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y]] = 25$,
$R^2[(\pi/4 + (x - y)/2) - (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y] ]= 20$
$R^2[ (\pi/4 - (x + y)/2) - (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y] ]= 12$
$S=R^2[ (\pi/4 - (x - y)/2) + (Sin[2 x] - Sin[2 y])/4 - Cos[x] Cos[y]] $

Jack315

利用 Excel “规划求解” 得到的数值解：


应变量：
\[S=15.3851269409354\]

自变量值：
\[R=4.80009216042285\]
\[u=0.437324075395741\]
\[v=0.923145822993236\]

Jack315

解题思路：
先求出相应的扇形面积，
再减去扇形内的不应包含的三角形面积；
或加上未包含在扇形内的三角形面积。

得到的方程组应该就是 1# 的公式。

nyy

Jack315 发表于 2023-8-12 19:08
解题思路：
先求出相应的扇形面积，
再减去扇形内的不应包含的三角形面积；

能不能把你画的PPT放在百度硬盘里面，然后给个链接共享一下？或者传到数学研发论坛的QQ群里？我想看看这个图。图做的确实不错。

Jack315

nyy 发表于 2023-8-12 19:31
能不能把你画的PPT放在百度硬盘里面，然后给个链接共享一下？或者传到数学研发论坛的QQ群里？我想看看这 ...

承蒙抬举，这就奉上：
……

今天上传了较多的图片，
新人文件上传受限了
明天再来笑纳。

aimisiyou

S1,S2,S3,S4之间满足啥关系？

Jack315

PPT 草稿"合集“来了：

PPT.rar (67.5 KB, 下载次数: 6)

2023-8-13 06:33 上传

点击文件名下载附件

在 PPT 画好后贴到 “画图 (mspaint.exe)” 软件里转成图片就可以用了。

Jack315

Jack315 发表于 2023-8-12 18:53
利用 Excel “规划求解” 得到的数值解：

Excel “规划求解” 计算工作薄：

圆内面积分割.rar (7.48 KB, 下载次数: 2)

2023-8-13 20:07 上传

点击文件名下载附件

nyy

northwolves 发表于 2023-8-12 16:59
令$u=Rcosx,v=Rcosy$
可得：
$R^2[ (\pi/4 + (x + y)/2) + (Sin[2 x] + Sin[2 y])/4 + Cos[x] Cos[y]] =  ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,输入参数:半径,圆弧起始弧度,圆弧终止弧度,水平长,竖直长.输出:面积=扇形-扇形对应的三角形+直角三角形*)
   
4. area[R_,ang1_,ang2_,a_,b_]:=1/2*R^2((ang2-ang1)-Sin[(ang2-ang1)])+1/2*a*b
   
5. (*水平与竖直长度赋值,此处ab是角度,上面ab是长度*)
   
6. {ux,uy}=R*{Cos[a],Sin[a]}
   
7. {vx,vy}=R*{Cos[b],Sin[b]}
   
8. (*计算三个面积表达式*)
   
9. a12=area[R,a,b,ux-vx,vy-uy]//Simplify
   
10. a25=area[R,Pi-a,2*Pi-b,ux+vx,vy+uy]//Simplify
    
11. a20=area[R,2*Pi-b,2*Pi+a,ux-vx,vy+uy]//Simplify
    
12. (*牛顿迭代法求解圆的半径与两个角度*)
    
13. ans=FindRoot[{a12==12,a25==25,a20==20},{{R,4},{a,10deg},{b,80deg}},WorkingPrecision->20]
    
14. mj=Pi*R^2-(12+25+20)/.ans(*用圆的面积减去三个面积=需要求的面积*)
    

复制代码

我的代码，我用的是角度参数，与你的是应该是一回事。
求解结果
列方程
\[-\frac{1}{2} R^2 (\cos (b) (\sin (b)-2 \sin (a))+a+\sin (a) \cos (a)-b)=12\]
\[\frac{1}{2} R^2 (\cos (b) (2 \sin (a)+\sin (b))+a+\sin (a) \cos (a)-b+\pi )=25\]
\[\frac{1}{2} R^2 (-\cos (b) (2 \sin (a)+\sin (b))+a+\sin (a) \cos (a)+b)=20\]
方程组求解结果
{R->4.8000946072772487659,a->0.19352372398043376605,b->1.4795625234825034378}
所需要求的面积
15.38514805508871343
CD两点与圆心连线所对应的角度（角度制）
{11.088092619733534828,84.772688121273200768}

我的代码对应的图片，不过多解释，很容易看懂。

原本引用的图片被删除了，太占用屏幕，故删除。

nyy

Jack315 发表于 2023-8-12 18:53
利用 Excel “规划求解” 得到的数值解：

也玩了一下，LZ 的公式有没有问题现在不知道，但发现可能还有一个解，就是 S > 20 的情况。现在的答案好像都是 S < 20 的情况。

我觉得这个题目应该只有一个解，如果有别的解，你不妨把答案贴上来，让大家都来研究研究！