P是△ABC内的动点，求7*AP+5*BP+8*CP的最小值

nyy

还是kkt条件好，永远都不变，都是那个方法！

nyy

hejoseph 发表于 2024-4-27 18:36
完整的结论如下：
如果求 $k_1PA+k_2PB+k_3PC$ 的最小值，其中 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 都是已知正数。这里设 ...

你这个k_1PA+k_2PB+k_3PC的结果表达式，是怎么搞到的？
硬算的吗？还是有什么技巧？

hejoseph

nyy 发表于 2024-4-29 14:22
你这个k_1PA+k_2PB+k_3PC的结果表达式，是怎么搞到的？
硬算的吗？还是有什么技巧？ ...

BC=a，B1C=bk1/k2，∠BCB1=C+γ，直接用6#分析的结果知BB1=(k1PA+k2PB+k3PC)/k2，再用余弦定理求BB1，
BB1^2
=a^2+b^2k1^2/k2^2-2abk1/k2cos(C+γ)
=a^2+b^2k1^2/k2^2-2abk1/k2·(cosCcosγ-sinCsinγ)
=a^2+b^2k1^2/k2^2-2abk1/k2·(k1^2+k2^2-k3^2)/(2k1k2)·cosC+2abk1/k2·2S/(ab)·2S'/(k1k2)
=(a^2k2^2+b^2k1^2-ab·(k1^2+k2^2-k3^2)·cosC+8SS')/(k2^2)
=((a^2-abcosC)k2^2+(b^2-abcosC)k1^2+abk3^2cosC+8SS')/(k2^2)
=((b^2-abcosC)k1^2+(a^2-abcosC)k2^2+abk3^2cosC+8SS')/(k2^2)
利用bcosC+ccosB=a，acosC+ccosA=b就得
b^2-abcosC=b(b-acosC)=bccosA
a^2-abcosC=a(a-bcosC)=accosB
这样
BB1^2=(bck1^2cosA+ack2^2cosB+abk3^2cosC+8SS')/(k2^2)
所以
k1PA+k2PB+k3PC=√(bck1^2cosA+ack2^2cosB+abk3^2cosC+8SS')

网站显示的LaTeX公式太丑了，直接用图片

nyy

hejoseph 发表于 2024-4-27 18:36
完整的结论如下：
如果求 $k_1PA+k_2PB+k_3PC$ 的最小值，其中 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 都是已知正数。这里设 ...

PABC1等三个四点共圆，达到极值的时候，是什么条件呢？