另类极值

wayne

9# 数学星空


有两大资源相当的丰富：
1)Mathematica的文档，即documentation，tutorial和virtual book
2)Mathematica官网，即http://library.wolfram.com，http://demonstrations.wolfram.com/等等

其实玩Mathematica，收获更多的倒是数学知识，比如在搜索关于Mathematica如何求解五次方程时，你同时也就知道了解五次方程的前沿知识：
http://library.wolfram.com/examples/quintic/

wiley

取所有的x=1, 得到最大值>=调和序列-1, 所以随着变量数的增加会发散.

也可以证对任意非负x, 都有$f(x)={(3x+\sqrt{x^2+8})\sqrt{8-2x^2+2x\sqrt{x^2+8}}}/16 \gt x$, 不过较繁

wayne

呵呵，很精彩.
当x为$-\frac{127}{8 \sqrt{255}}$，$(3x+\sqrt{x^2+8})\sqrt{8-2x^2+2x\sqrt{x^2+8}}-x$取最小值，$\frac{\sqrt{255}}{16}$,
x为非负，则在0处取最小值

wiley

Wayne, 多谢评分.
不过上面的表达式漏掉了分母16.
对非负x, f(x)-x是单调递减, 且恒大于0, 在无穷处的极限是0;
我的证法是令 $x=2\sqrt{2}\sinh(t)\  t \ge 0$
最后 $f(x)^2-x^2$ 可以等价地化成 $y=e^{-2t}$ 的二次多项式:
$1-y/2-y^2/4>0$
不知道有没有更简单的办法

wayne

6# wiley

普遍的情况是反复求
sin(2t)/2+Mcos(t)
的最大值. 所以可以对n作递归, M就是(n-1)个变量时的最大值.

这里好像有点不对，M不应该是n-1个变量对应的最大值

mathe

6# wiley


这里好像有点不对，M不应该是n-1个变量对应的最大值
wayne 发表于 2009-12-15 15:55

这个没有错。不过推导过程需要将变量替换一下。
我们考虑后n-1个变量构成的表达式，先把它们对应的结果最大化就可以了

wayne

搜了一下，楼主在7楼给的图片来源于：
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=134716

从该处看得出来，陈计对这个不等式的最值有研究的比较深入

附注：
本论坛里另有一帖讨论一道不等式，也是与陈计相关
陈计的一道代数不等式： http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-1-3.html

wayne

先研究“式子（0）”$\frac{x}{1+x^2}+\frac{M}{\sqrt{1+x^2}}$的解的一般情况：

其最大值MAX为方程（1）$1-3 M^2+3 M^4-M^6+(-8-20 M^2+M^4) t^2+16 t^4=0$的Root，
对应的x取值为方程（2）$-M^2 + MAX^2 + 2 MAX t + (1 - M^2 + 2 MAX^2) t^2 + 2 MAX t^3 +   MAX^2 t^4=0$的Root。


放在题目背景中，即在一般的n个变量的情况下，根据上面的方程的解进行迭代，
设M[1]=1/2;M[2]为M[1]代入方程（1）后求得的第一个根，此迭代关系为
$M_{i+1}=ROOT(1-3 M_i^2+3 M_i^4-M_i^6+(-8-20 M_i^2+M_i^4) t^2+16 t^4=0,1)$。
设方程2的解为函数$f(M)=ROOT(-M^2 + MAX^2 + 2 MAX t + (1 - M^2 + 2 MAX^2) t^2 + 2 MAX t^3 +   MAX^2 t^4=0,1)$,那么，
对于x[ i]，有迭代关系$x_i=f(M[n-i])*\sqrt{1+x_1^2+x_1^2+...+x_{i-1}^2}$
(在此，需要附加一个定义，针对一个变量的情况，我们不妨看成是M=0的时候，有M[0]=0)

wayne

迭代关系搞清楚了之后，用Mathematica进行求解，得到三个变量的时候，式子取得的最值是方程
$11089567-22260254236 t^2+229020297216 t^4-542381965312 t^6+274877906944 t^8=0$的最大根，即
$\sqrt{\frac{2069023}{4194304}+\frac{162129 \sqrt{33}}{4194304}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2323243597761}{2199023255552}+\frac{378028171983 \sqrt{33}}{2199023255552}}}$
对应的三个变量的取值分别下面的三个方程的第五个实根(从小到大排列)：
$1024-4924 t^2+6999 t^4-3214 t^6+223 t^8=0$，
即$\sqrt{\frac{1607}{446}+\frac{99 \sqrt{33}}{223}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3332061}{49729}+\frac{577500 \sqrt{33}}{49729}}}$
$262144-495360 t^2+217860 t^4-35829 t^6+2007 t^8=0$，
即$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{669}{11943-271 \sqrt{33}-3 \sqrt{2 (2045553+325439 \sqrt{33})}}}}$
$4194304-3395328 t^2+812832 t^4-72783t^6+2007 t^8=0$，即
$\sqrt{\frac{8087}{892}+\frac{917 \sqrt{\frac{11}{3}}}{892}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15997041}{99458}+\frac{2724065 \sqrt{33}}{99458}}}$

wayne

四个变量时：
最值为下面方程的最大的实根
$-224012685026718351776574428162661-74956163183658390093475495038728796 t^2+9243735193639790652854124794652429312 t^4-206369438661961027978568798564838014976 t^6+1595192114888563187238421544076671188992 t^8-5444431390808593728429577637907098763264 t^{10}+8568678975599292593189994993497671729152 t^{12}-5889982186659496857595210354424360730624 t^{14}+1361129467683753853853498429727072845824 t^{16}=0$
四个变量对应的取值对应为下面方程的第八个实根(实根按从小到大的顺序排列)：
$-274877906944+2741405220864 t^2-10637511518208 t^4+20754901325340 t^6-21702093850755 t^8+11720606906700 t^{10}-2630710455282 t^{12}-32630080608 t^{14}+60732925821 t^{16}=0$

$-73786976294838206464+272377969346158264320 t^2-293573735356890611712 t^4+92507927835728609280 t^6+20046138208340878080 t^8-16598305099811394180 t^{10}+2983863431165346693 t^{12}-169700047851587130 t^{14}+3020187668152509 t^{16}=0$

$-4835703278458516698824704+6673698738369790451122176 t^2-1738299542893994082041856 t^4+19349613338831672573952 t^6+49376799115126377136128 t^8-7914695755471033582080 t^{10}+550938874625198501148 t^{12}-18503094317023898631 t^{14}+244635201120353229 t^{16}=0$

$-1237940039285380274899124224+767313219600739537728307200 t^2-137095672680144491891392512 t^4+8098032454607336531558400 t^6+167427261617803816366080 t^8-40043032647568180427520 t^{10}+1798332035886800340048 t^{12}-34337315365528255785 t^{14}+244635201120353229 t^{16}=0$