另类极值

wayne

哈哈，跟陈计贴的四个变量时的最值是一样的！

geslon

猜想：
当n无穷大时，该和式的值$X->sqrt(n)$,即$X/sqrt(n)->1$

wayne

花了166.297秒钟，运行到了n = 250000时，最大值为 499.986952849862`
数据快有10M了，所以我把90000之前的数据压缩了，有490KB，放在附件里，刚刚好。

猜想应该是对的

数学星空

呵"猜想是对的"
这个问题应该被证明了吧,我的贴图里有一个说明,虽然我没有看到其证明....

wayne

若定义函数
f(x)=(3x+x2+8)8-2x2+2xx2+816
对于n个变量, 最大值是
f(n)(0)=f(f(...f(0)))

你给的迭代方程$f(x)=\frac{(3x+\sqrt{x^2+8})\sqrt{8-2x^2+2x\sqrt{x^2+8}}}{16}$的等价方程是$f(M)=\frac{\sqrt{8+20 M^2-M^4+M (8+M^2)^{3/2}}}{4 \sqrt{2}}$
其渐近线就是y=x。

wayne

呵"猜想是对的"
这个问题应该被证明了吧,我的贴图里有一个说明,虽然我没有看到其证明....
数学星空 发表于 2009-12-16 11:28

你说的贴图是指这个吧
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=134716
这道IMO题只是说明sqrt(n)是上界，geslon的猜想是上确界，最小的上界。

数学星空

我觉得最大值max=sqrt(n)应该取不到,只能是无限接近...即不能取等号??

wayne

嗯，是取不到的。
弄不好那个和式与sqrt(n)的差会趋于一个常数，

mathe

使用wayne的递推式
$x_{n+1}={sqrt(8+20x_n^2-x_n^4+x_n*(8+x_n^2)^{3/2})}/{4sqrt(2)}$
其中$x_0=0$
我们记$y_n=x_n^2$,于是递推式变成
$32y_{n+1}=8+20y_n-y_n^2+sqrt(y_n*(8+y_n)^3)<32y_n+32$
右边的不等式只要移项平方就可以证明。
于是$y_{n+1}<y_n+1$,所以$y_n<n,x_n<sqrt(n)$

mathe

而现在要证明$lim_{n->infty}{x_n}/{sqrt(n)}=1$也不难
对于任意正数t,我们可以证明对于充分大的x
$8+20x-x^2+sqrt(x(8+x)^3)>32x+32-t$
而如果我们取t=16,就可以证明，对于$y_n>1/2$，必然有
$y_{n+1}>y_n+1/2$,于是$y_n>n/2$,所以数列${y_n}$值可以取到充分大
由此，我们可以知道对于任意参数t,对于充分大的n成立$y_{n+1}>(1-t/32)*n+C_t$,其中C_t是个待定参数
由此可以得出$lim_{n->infty}{y_n}/n=1$