另类极值

mathe

可以证明，对于$y_n>=1$,
$y_n+1-1/{y_n}<y_{n+1}<y_n+1$
由此可以得出$n-log(n)+c<y_n<n$
所以$sqrt(n)(1-{log(n)-c}/{2n})<x_n<sqrt(n)$
应此应该有$x_n-sqrt(n)->0$,不过上面过程不严格，需要好好推敲

数学星空

使用wayne的递推式
$x_{n+1}={sqrt(8+20x_n^2-x_n^4+x_n*(8+x_n^2)^{3/2})}/{4sqrt(2)}$
其中$x_0=0$
我们记$y_n=x_n^2$,于是递推式变成
$32y_{n+1}=8+20y_n-y_n^2+sqrt(y_n*(8+y_n)^3)
mathe 发表于 2009-12-16 12:56

非常简洁的证明...
注:$32*y+32-(8+20y-y^2+sqrt(y*(8+y)^3))=y^2+12*y+24-sqrt(y*(8+y)^3)$
$(y^2+12*y+24)^2-y*(8+y)^3=64*y+576>0$

wayne

我很自豪，无心的给出一个递推公式，竟引出了强悍的mathe，不仅原先的IMO题有了一个新的且很简洁的证明，而且geslon猜想也是成立的！！！

wayne

可以证明，对于$y_n>=1$,
$y_n+1-1/{y_n}
mathe 发表于 2009-12-16 13:11

y>=0,函数$g(y)=8+20y-y^2+sqrt(y*(8+y)^3)-32y$单调递增，且有上确界为32.
也即是，$n->+\oo, y_{n+1}-y_{n}->1$