自然数前段的均衡样本

mathe

试着计算了以下k=3情况，计算非常复杂，
其中记$u^3=y,1+w+w^2=1$
$Res(t=y)={y^6}/{(1-y^2)^2(1-y^4)}$
$Res(t=u)={y^4}/{3(1-y^2)(1+y^2-u^2-u^4)}$
$Res(t=uw)={y^4}/{3(1-y^2)(1+y^2-w^2u^2-wu^4)}$
$Res(t=uw^2)={y^4}/{3(1-y^2)(1+y^2-wu^2-w^2u^4)}$
最后相加后面3个留数得到${y^4(1+y^2+y^4)}/{(1-y^2)^2(1-y^4)}$
于是K=3时候的母函数为${y^4(1+2y^2+y^4)}/{(1-y^2)^2(1-y^4)}$
如果我们将$y^2$用x替换就可以得到只有奇数项的情况的母函数${x^2(1+x)^2}/{(1-x)^2(1-x^2)}$

mathe

而现在我估计可以猜测:
对于函数$1/ty_h(t)y_h(1/t)$
对于给定的h,它在h个极点$\root{h}{y}\omega_{h}^u,0<=u<h$处的留数之和是一个y的有理多项式，而且分母同h没有关系，在K是偶数时为$Y_k(y)$,在K是奇数时为$(1-y^2)Y_k(y^2)$

mathe

现在证明结果是y的分式而且分母是我们要求的结果的因子不难了，不过112#的猜想不成立，只能得出它们的分母都是结果分母的因子。
而首先我们需要证明112#这样的和式是y的分式，记$u=root{h}{y}$，那么112#中和显然是u的分式，而且满足$f(\omega_hu)=f(u)$,于是可以得出$f(u)=g(u^h)$,其中g也是分式。
然后只要证明对于每个留数，其分母是对应结果的因子就可以了,即证明各个留数的分式的分母整除$S_k(u^h)$就可以了

hujunhua

先报个到，我胡汉三又回来了。

mathe

104#到106#为了将计算公式转化为留数的计算转了个大圈子，现在发现其实可以直接用罗兰级数就可以解释了。
由于结果是$\prod_{h=0}^k {zx^h}/{1-zx^h}$展开后项$z^{n+1}x^{{(n+1)k}/2}$的系数（当然如果(n+1)k是奇数时只能为0）
其中展开的区域是$|z|<1,|zx^k|<1$
我们直接做变量替换
${(y=zx^{k/2}),(t=sqrt(x)):}$
那么替换以后，相当于在区域$|y|<1,root{k}{|y|}<|t|<1/{root{k}{|y|}}$做展开后t的次数为0的系数就是所求的母函数。
也就是将y看成常数后对应的函数在区域$root{k}{|y|}<|t|<1/{root{k}{|y|}}$的罗兰展开式中常数项系数。于是将函数再除以t以后就变成$t^{-1}$的系数，也就是单位圆内所有极点的留数之和。

wayne

我们都叫洛朗级数

mathe

现在整理一下:
这个问题的计数相当于函数$\prod_{h=0}^k {zx^h}/{1-zx^h}$展开后项$z^{n+1}x^{{(n+1)k}/2}$的系数（当然如果(n+1)k是奇数时只能为0）
对于k是偶数，我们可以做变量替换
$y=zx^{k/2}$而变量x还保留，于是变成了
$\prod_{h=0}^k y/{1-y*x^{h-k/2}}$
在$|y|<1,root{k/2}{|y|}<|x|<1/{root{k/2}{|y|}}$内的Laurent级数中关于变量x的常数项
记$h_y(x)=1/x\prod_{h=0}^k y/{1-y*x^{h-k/2}}$
在单位圆内所有极点都是一阶极点并且分别满足
$x^h=y,1<=h<=k/2$
记$omega_h$是$x^h=1$的单位根，满足上面条件的一个极点为$r_{h,u}=root{h}{y}omega_h^u$
于是$h_y(x)$在这个极点的留数可以计算出来，为
$lim_{x->r_{h,u}}(x-r_{h,u})h_y(r_{h,u})=1/{-r_{h,u}y(k/2-h)r_{h,u}^{u(k/2-h-1)}}\prod_{0<=s<=k,s!=k/2-h}y/{1-y*r_{h,u}^{s-k/2}}$
我们做变量替换$q=root{h}{y}$,于是上面的留数是关于$q$的分式，其分母各因子为$1-q^{h+s-k/2}*omega_h^{u(s-k/2)}$其中$0<=s<=k,s!=k/2-h$
于是我们知道分母各个因子互素，而且分别是$1-q^{h(h+s-k/2)}$的因子，所以分母必然是
$\prod_{m=1}^{k-1}(1-q^{hm})\prod_{m=1}^{k/2-1}(1-q^{hm})$的因子。
对于给定的h,我们对所有的h个u累加，得到的分式通分后分母还是$\prod_{m=1}^k(1-q^{hm})\prod_{m=1}^{k/2-1}(1-q^{hm})$的因子，而且根据前面的分析，它可以写成$q^h$的分式，也就是结果是
y的分式，而且分母是$\prod_{m=1}^{k-1}(1-y^m)\prod_{m=1}^{k/2-1}(1-y^m)$的因子。此外我们还可以计算出分子y的次数低于分母的次数。
同样对于k是奇数，我们也可以做类似替换，只是要用t替换$sqrt(x)$.
得到上面这些结果以后，由于分子次数低于分母的次数，我们只要计算数列最多分母的次数项，余下就可以使用特征多项式递推得出，
可以得到一个O(k^2(k+n))的算法计算$a_k(n)$

hujunhua

最近比较忙一点，出差时家里落下的事还得自己回来后做完。月底又要出去，这次是去苏州，要呆1个多月，肯定有机会袭击郭老板，撬开社区银行的保险柜，盗些金币。

这个主题不会就这么结束的，至少我不会，mathe和wayne也许在等我回来？我会回来的。

hujunhua

今天学了一句苏沪闲话：“喇叭腔”，好好笑哇。 本该发在开心茶馆的，只是这句闲话让我不禁想起这个闲置月余却常在心头的帖子。关于这个问题，偶是决不会“喇叭腔”的。 偶这么说，“喇叭腔”的意思大家可猜得一二？

gxqcn

118# hujunhua 才看到老兄要到苏州，怎么没直接打我电话？ 现在还在苏州吗？ “喇叭腔”这个词好像在苏州没听说过，可能主要是上海在说吧？