自然数前段的均衡样本

wayne

mathe遁迹了，
我也无能为力了，
可能是我比较浮躁吧，
太耗脑子的问题我很难静心钻下去

mathe

今天刚刚回来。
不知道wayne能否除了特征方程以外，将数列的母函数也计算出来？
母函数应该是有理式，分母就是特征方程

wayne

72# mathe

能啊，通项公式，生成函数，原则上都可以给出来。直接用FindGeneratingFunction函数即可。。。

只是，如果直接使用的话，似乎只能算到四元的。


三元的： $\frac{-x-x^3}{(-1+x)^3 (1+x)}$
四元的：$\frac{x^3 (1-x+x^2)}{(-1+x)^4 (1+x) (1+x+x^2)}$

再高次的话，Mathematica似乎不情愿算。
不过，我应该可以根据G.F.分母是特征方程来间接推导出高次的生成函数的方程

mathe

根据A001973和A001977
如果k是偶数，那么母函数应该是(包含偶数项时)
$\prod_{s=1}^k{x^s-x^n}/{1-x^s}$

wayne

mathe高人也，
从母函数的角度出发，比前面单方面的寻找 特征方程更简洁！！！

mathe

所以你来计算以下k为奇数时的母函数看看，我觉得应该有比较简单的规律的

mathe

74#的还不是母函数。

wayne

嗯，是不是。
想请教一下，有没有，可以算出一个函数的泰勒展开式的第n项系数的快速计算方法

mathe

呵呵，没有什么通用的快速方法，根据链接中的方法和Pari代码可以写出另外一个类似的代码，不过好像对内存的消耗要大于我的

1. 
   
2. RR(K,n)=
   
3. {
   
4.    local(f,m,p,s,t);
   
5.    s=K+1;t=(K*(K+1))/2;
   
6.    f=1/(1-z);
   
7.    for(h=1,K,
   
8.      f=f/(1-x^h*z)
   
9.    );
   
10.    m=K*n;
    
11.    p=subst(subst(f,x,x+x*O(x^m)),z,z+z*O(z^m));
    
12.    for(h=1,n, if(2*h<K+1,print1(0","),print1(polcoeff(polcoeff(p,K*h-t),2*h-s)",")))
    
13. }

复制代码

wayne

呵呵，这一点Mathematica强多了，我算到了12元情况的特征方程。
31楼的猜想不成立：

6元： $ (x^2-1)Y_6(x)$
8元：$\frac{-1+x}{1-x+x^2}Y_8(x)$
10元：$ (x^2-1)Y_10(x)$
12元：$\frac{-1+x}{1+(-1+x) x (1+x^2)}Y_12(x)$