自然数前段的均衡样本

wayne

9# hujunhua


我是借助软件找出来的规律，
当时只是考虑大于1的奇数，
所以没能准确的提供表达式。。。

wayne

借助软件，利用非常充分的数据验证了一下，得到三元，四元，五元，六元的均衡样本个数的递推公式分别如下：
(注释：K为奇数时，偶数n的样本个数为0，所以下面的3，5元反映的是去掉所有的偶数项的0之后的新序列)

三元: a_n=2a_n-1-2a_n-3+a_n-4      
初始值{0, 1, 2, 5}

四元：a_n=2a_n-1-a_n-3-a_n-4+2a_n-6-a_n-7      
初始值{0, 0, 0, 1, 1, 3, 5}

五元：a_n=2a_n-1-a_n-3-2a_n-5+2a_n-6+a_n-8-2a_n-10+a_n-11      
初始值{0, 0, 1, 3, 12, 32, 73, 141, 252, 414, 649}

六元：a_n=a_n-1+2a_n-2-a_n-3-a_n-4-a_n-5-a_n-6+2a_n-8+2a_n-9-a_n-11-a_n-12-a_n-13-a_n-14+2a_n-15+a_n-16-a_n-17      
初始值{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 8, 18, 32, 58, 94, 151, 227, 338, 480}

比如，六元均衡样本，用mathematica进行迭代：
LinearRecurrence[{1, 2, -1, -1, -1, -1, 0, 2, 2, 0, -1, -1, -1, -1, 2,1, -1}, {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 8, 18, 32, 58, 94, 151, 227, 338, 480}, 100]


{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 8, 18, 32, 58, 94, 151, 227, 338, 480, 676, 920, 1242, 1636, 2137, 2739, 3486, 4370, 5444, 6698, 8196, 9926, 11963, 14293, 17002, 20076, 23612, 27594, 32134, 37212, 42955, 49341, 56512, 64444, 73294, 83036, 93844, 105690, 118765, 133037, 148718, 165772, 184430, 204654, 226694, 250510, 276373, 304239, 334402, 366814, 401792, 439284, 479632, 522780, 569093, 618513, 671430, 727782, 787986, 851974, 920192, 992568, 1069575, 1151137, 1237756, 1329352, 1426456, 1528984, 1637498, 1751908, 1872809, 2000105, 2134424, 2275666, 2424490, 2580792, 2745266, 2917802, 3099129,3289131, 3488574, 3697336, 3916220, 4145098, 4384810, 4635224, 4897217, 5170651, 5456444, 5754450, 6065628, 6389826, 6728044}

hujunhua

发主帖前，偶只粗略算了一下3元均衡样本数，当时也是去掉了偶零项，得到通项公式Ceiling[(n-1)²/2]。为了消除取整函数，形成了递推公式a[n+1]+a[n]=n²-n+1。

hujunhua

根据wayne所给的递推公式，相应的特征多项式是：

k=3时，$x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1=(x-1)^3(x+1)=(x-1)^2(x^2-1)$
k=4时，$x^7 - 2 x^6 + x^4 + x^3 - 2 x + 1=(x-1)^4(x+1)(x^2+x+1)=(x-1)^2(x^2-1)(x^3-1)$
k=5时，$x^11 - 2 x^10 + x^8 + 2 x^6 - 2 x^5 - x^3 + 2 x - 1=(x-1)^5(x+1)^2(x^2+1)(x^2+x+1)=(x-1)^2(x^2-1)(x^3-1)(x^4-1)$

这些特征多项式的不可约因式都是分圆多项式，并且刚好可凑成1~(k-1)阶分圆方程之积，仅有因式(x-1)多了一重。多么美妙的规律啊，我满怀期望地分解k=6的特征多项式，
$1 - x - 2 x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 - 2 x^8 - 2 x^9 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 - 2 x^15 - x^16 + x^17$
$=(x-1 )^6 (1 + x)^3 (1 + x^2) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)$
$=(x-1)(x^2-1)^2(x^3-1)(x^4-1)(x^5-1)$
结果这回多了一重的是$(x^2-1)$.  虽然仍然只有分圆多项式，仍然能够凑成1~(k-1)阶分圆方程之积，但是重数的一点点不同仍然不啻一瓢冷水当头浇下。

wayne, 检查一下你的6元公式，能否将特征多项式降到16次。
能否再接再厉，给出7元、8元、9元、…特征方程来。

wayne

呵呵，一刷新才发现 大大捷足先登了啊 我再整理整理

wayne

六元的我感觉已经比较充分了。 有一点疑问，奇数元的我们都忽略了偶零项，这会不会就是不和谐的根源？

wayne

不对，把偶数项加进去的话就更乱了

hujunhua

偶零项加进去的话，公式恐怕会很怪。暂时不加为好。
既然k为奇数时忽略了偶零项，那么可以考虑k为偶数时忽略n偶项。
也就是，可以暂限于讨论Range(2n-1)的均衡样本数。
Range(2n-1)的总体平均值为n，我发主帖时，第一版其实就是Range(2n-1)，后来为了一般性改成了Range(n).

qianyb

14# hujunhua k=7时,公式会不会是$(x-1)(x^2-1)(x^3-1)^2(x^4-1)(x^5-1)(x^6-1)$

hujunhua

也许。即使有出入，也不会很大，我坚信不可约因式都是分圆多项式这一点不会错，虽然现在还没进入证明阶段。我期望这些分圆多项式可以凑成1~(k-1)阶分圆方程之积，并且重数有简明的分布规律。