圆周率问题一则

mathe

sqrt(v+d, pi)-sqrt(v,pi)
可以非常非常小，比如d=1或-1时，我们知道这个差值小于sqrt(v,pi)-1，将非常非常小。
而分子通过使用不同的sqrt(u,pi)以后可以看出整个比例可以取到很多不同的值。
我感觉这种方法应该可以有更加强的结论:使得结果在整个实数轴上稠密。
(而对于d<0的情况，也就是结果大于0的情况，我们还可以对计算结果继续开平方得到更多的结果)

无心人

别遇到收敛函数啊

northwolves

$40=[pi*root{32}{pi}^pi]$

northwolves

$30=[[pi]^([pi]^root{32}{pi})]$

mathe

可以看我这里计算的一些结果，找到了1到139的所有表示（不考虑计算误差）
我们采用一种简洁的记号
Pi表示$pi$
前缀S表示一次开根号,Sk表示连续k次开根号
前缀I表示一次取整，那么计算机搜索结果有:
1=ISPi/(SPi-ISPi)
2=ISPi/(SPi-S2Pi)
3=ISPi/(S2Pi-ISPi)
4=ISPi/(S2Pi-S4Pi)
5=ISPi/(S2Pi-S3Pi)
6=ISPi/(S3Pi-ISPi)
7=ISPi/(S3Pi-S8Pi)
8=ISPi/(S3Pi-S5Pi)
9=ISPi/(S3Pi-S5Pi)
10=S3Pi/(S3Pi-S5Pi)
11=S2Pi/(S3Pi-S5Pi)
12=ISPi/(S3Pi-S4Pi)
13=ISPi/(S4Pi-ISPi)
14=ISPi/(S4Pi-ISPi)
15=ISPi/(S4Pi-S8Pi)
16=ISPi/(S4Pi-S7Pi)
17=ISPi/(S4Pi-S6Pi)
18=ISPi/(S4Pi-S6Pi)
19=S7Pi/(S4Pi-S6Pi)
20=S4Pi/(S4Pi-S6Pi)
21=S3Pi/(S4Pi-S6Pi)
22=SPi/(S3Pi-S4Pi)
23=S2Pi/(S4Pi-S6Pi)
24=ISPi/(SPi-SPi)
25=ISPi/(S4Pi-S5Pi)
26=ISPi/(S4Pi-S5Pi)
27=ISPi/(S5Pi-ISPi)
28=ISPi/(S5Pi-ISPi)
29=ISPi/(S5Pi-S11Pi)
30=ISPi/(S5Pi-S9Pi)
31=ISPi/(S5Pi-S8Pi)
32=ISPi/(S5Pi-S8Pi)
33=S7Pi/(S5Pi-S8Pi)
34=S5Pi/(S5Pi-S8Pi)
35=ISPi/(S5Pi-S7Pi)
36=ISPi/(S5Pi-S7Pi)
37=S6Pi/(S5Pi-S7Pi)
38=ISPi/(S5Pi-S7Pi)
39=S6Pi/(S5Pi-S7Pi)
40=S4Pi/(S5Pi-S7Pi)
41=S4Pi/(S5Pi-S7Pi)
42=S3Pi/(S5Pi-S7Pi)
43=S3Pi/(S5Pi-S7Pi)
44=S3Pi/(S5Pi-S7Pi)
45=SPi/(S4Pi-S5Pi)
46=SPi/(S4Pi-S5Pi)
47=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
48=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
49=SPi/(S5Pi-ISPi)
50=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
51=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
52=ISPi/(S5Pi-S6Pi)
53=S6Pi/(S5Pi-S6Pi)
54=ISPi/(S5Pi-S6Pi)
55=ISPi/(S6Pi-ISPi)
56=ISPi/(S6Pi-S12Pi)
57=ISPi/(S6Pi-ISPi)
58=ISPi/(S6Pi-S13Pi)
59=ISPi/(S6Pi-S11Pi)
60=S7Pi/(S6Pi-S11Pi)
61=ISPi/(S6Pi-S10Pi)
62=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
63=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
64=S6Pi/(S6Pi-S9Pi)
65=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
66=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
67=S6Pi/(S6Pi-S9Pi)
68=S5Pi/(S6Pi-S9Pi)
69=S2Pi/(S5Pi-S6Pi)
70=S4Pi/(S6Pi-S9Pi)
71=S4Pi/(S6Pi-S9Pi)
72=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
73=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
74=S8Pi/(S6Pi-S8Pi)
75=S6Pi/(S6Pi-S8Pi)
76=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
77=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
78=S10Pi/(S6Pi-S8Pi)
79=S6Pi/(S6Pi-S8Pi)
80=S5Pi/(S6Pi-S8Pi)
81=S2Pi/(S6Pi-S10Pi)
82=S4Pi/(S6Pi-S8Pi)
83=S4Pi/(S6Pi-S8Pi)
84=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
85=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
86=S2Pi/(S6Pi-S9Pi)
87=S2Pi/(S6Pi-S9Pi)
88=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
89=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
90=SPi/(S5Pi-S6Pi)
91=Pi/(S5Pi-S9Pi)
92=SPi/(S5Pi-S6Pi)
93=Pi/(S5Pi-S8Pi)
94=SPi/(S5Pi-S6Pi)
95=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
96=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
97=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
98=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
99=SPi/(S6Pi-S11Pi)
100=SPi/(S6Pi-ISPi)
101=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
102=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
103=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
104=SPi/(S6Pi-S12Pi)
105=SPi/(S6Pi-S11Pi)
106=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
107=S7Pi/(S6Pi-S7Pi)
108=SPi/(S6Pi-S9Pi)
109=S5Pi/(S6Pi-S7Pi)
110=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
111=ISPi/(S7Pi-ISPi)
112=ISPi/(S7Pi-S14Pi)
113=ISPi/(S7Pi-S13Pi)
114=ISPi/(S7Pi-S12Pi)
115=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
116=ISPi/(S7Pi-ISPi)
117=ISPi/(S7Pi-S13Pi)
118=ISPi/(S7Pi-S11Pi)
119=ISPi/(S7Pi-S12Pi)
120=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
121=S7Pi/(S6Pi-S7Pi)
122=S6Pi/(S6Pi-S7Pi)
123=ISPi/(S7Pi-S11Pi)
124=ISPi/(S7Pi-S11Pi)
125=S7Pi/(S7Pi-S11Pi)
126=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
127=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
128=S7Pi/(S7Pi-S10Pi)
129=S6Pi/(S7Pi-S10Pi)
130=S5Pi/(S7Pi-S10Pi)
131=S5Pi/(S7Pi-S10Pi)
132=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
133=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
134=S7Pi/(S7Pi-S10Pi)
135=S6Pi/(S7Pi-S10Pi)
136=S4Pi/(S7Pi-S10Pi)
137=S5Pi/(S7Pi-S10Pi)
138=S5Pi/(S7Pi-S10Pi)
139=S2Pi/(S6Pi-S7Pi)
141=S4Pi/(S7Pi-S10Pi)

mathe

前面程序输出部分有点代码写错了，改成：
1=ISPi/(SIPi-ISPi)
2=ISPi/(SIPi-S2IPi)
3=ISPi/(S2IPi-ISPi)
4=ISPi/(S2IPi-S4IPi)
5=ISPi/(S2IPi-S3IPi)
6=ISPi/(S3IPi-ISPi)
7=ISPi/(S3IPi-S8Pi)
8=ISPi/(S3IPi-S5IPi)
9=ISPi/(S3IPi-S5Pi)
10=S3IPi/(S3IPi-S5IPi)
11=S2IPi/(S3IPi-S5IPi)
12=ISPi/(S3Pi-S4IPi)
13=ISPi/(S4Pi-ISPi)
14=ISPi/(S4IPi-ISPi)
15=ISPi/(S4IPi-S8Pi)
16=ISPi/(S4IPi-S7IPi)
17=ISPi/(S4Pi-S6IPi)
18=ISPi/(S4IPi-S6IPi)
19=S7IPi/(S4IPi-S6Pi)
20=S4IPi/(S4IPi-S6Pi)
21=S3IPi/(S4IPi-S6IPi)
22=SIPi/(S3IPi-S4IPi)
23=S2IPi/(S4Pi-S6IPi)
24=ISPi/(SPi-SIPi)
25=ISPi/(S4Pi-S5IPi)
26=ISPi/(S4Pi-S5Pi)
27=ISPi/(S5Pi-ISPi)
28=ISPi/(S5IPi-ISPi)
29=ISPi/(S5IPi-S11IPi)
30=ISPi/(S5IPi-S9IPi)
31=ISPi/(S5Pi-S8IPi)
32=ISPi/(S5IPi-S8IPi)
33=S7IPi/(S5IPi-S8Pi)
34=S5Pi/(S5IPi-S8Pi)
35=ISPi/(S5Pi-S7IPi)
36=ISPi/(S5Pi-S7Pi)
37=S6IPi/(S5Pi-S7Pi)
38=ISPi/(S5IPi-S7IPi)
39=S6IPi/(S5IPi-S7Pi)
40=S4IPi/(S5IPi-S7IPi)
41=S4IPi/(S5IPi-S7Pi)
42=S3Pi/(S5Pi-S7Pi)
43=S3IPi/(S5IPi-S7IPi)
44=S3IPi/(S5IPi-S7Pi)
45=SIPi/(S4Pi-S5Pi)
46=SPi/(S4Pi-S5Pi)
47=S2IPi/(S5Pi-S7IPi)
48=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
49=SIPi/(S5IPi-ISPi)
50=S2IPi/(S5IPi-S7IPi)
51=S2Pi/(S5IPi-S7Pi)
52=ISPi/(S5Pi-S6IPi)
53=S6IPi/(S5Pi-S6IPi)
54=ISPi/(S5Pi-S6Pi)
55=ISPi/(S6Pi-ISPi)
56=ISPi/(S6Pi-S12IPi)
57=ISPi/(S6IPi-ISPi)
58=ISPi/(S6IPi-S13IPi)
59=ISPi/(S6IPi-S11IPi)
60=S7IPi/(S6IPi-S11IPi)
61=ISPi/(S6IPi-S10IPi)
62=ISPi/(S6Pi-S9IPi)
63=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
64=S6IPi/(S6Pi-S9Pi)
65=ISPi/(S6IPi-S9IPi)
66=ISPi/(S6IPi-S9Pi)
67=S6IPi/(S6IPi-S9IPi)
68=S5IPi/(S6IPi-S9IPi)
69=S2Pi/(S5Pi-S6IPi)
70=S4IPi/(S6IPi-S9IPi)
71=S4IPi/(S6IPi-S9Pi)
72=ISPi/(S6Pi-S8IPi)
73=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
74=S8IPi/(S6Pi-S8Pi)
75=S6Pi/(S6Pi-S8Pi)
76=ISPi/(S6IPi-S8IPi)
77=ISPi/(S6IPi-S8Pi)
78=S10IPi/(S6IPi-S8Pi)
79=S6IPi/(S6IPi-S8Pi)
80=S5IPi/(S6IPi-S8Pi)
81=S2IPi/(S6IPi-S10IPi)
82=S4IPi/(S6IPi-S8IPi)
83=S4IPi/(S6IPi-S8Pi)
84=S3IPi/(S6Pi-S8Pi)
85=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
86=S2IPi/(S6IPi-S9IPi)
87=S2IPi/(S6IPi-S9Pi)
88=S3IPi/(S6IPi-S8IPi)
89=S3IPi/(S6IPi-S8Pi)
90=SIPi/(S5Pi-S6IPi)
91=IPi/(S5IPi-S9IPi)
92=SPi/(S5Pi-S6IPi)
93=IPi/(S5Pi-S8IPi)
94=SIPi/(S5Pi-S6Pi)
95=S2IPi/(S6Pi-S8IPi)
96=S2Pi/(S6Pi-S8IPi)
97=S2IPi/(S6Pi-S8Pi)
98=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
99=SIPi/(S6Pi-S11Pi)
100=SIPi/(S6IPi-ISPi)
101=S2IPi/(S6IPi-S8IPi)
102=S2IPi/(S6IPi-S8Pi)
103=S2Pi/(S6IPi-S8Pi)
104=SPi/(S6IPi-S12Pi)
105=SPi/(S6IPi-S11IPi)
106=ISPi/(S6Pi-S7IPi)
107=S7Pi/(S6Pi-S7IPi)
108=SIPi/(S6Pi-S9IPi)
109=S5IPi/(S6Pi-S7IPi)
110=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
111=ISPi/(S7Pi-ISPi)
112=ISPi/(S7Pi-S14IPi)
113=ISPi/(S7Pi-S13IPi)
114=ISPi/(S7Pi-S12IPi)
115=ISPi/(S6IPi-S7IPi)
116=ISPi/(S7IPi-ISPi)
117=ISPi/(S7IPi-S13IPi)
118=ISPi/(S7Pi-S11IPi)
119=ISPi/(S7IPi-S12IPi)
120=ISPi/(S6IPi-S7Pi)
121=S7IPi/(S6IPi-S7Pi)
122=S6IPi/(S6IPi-S7Pi)
123=ISPi/(S7IPi-S11IPi)
124=ISPi/(S7IPi-S11Pi)
125=S7IPi/(S7IPi-S11Pi)
126=ISPi/(S7Pi-S10IPi)
127=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
128=S7IPi/(S7Pi-S10Pi)
129=S6IPi/(S7Pi-S10Pi)
130=S5IPi/(S7Pi-S10IPi)
131=S5IPi/(S7Pi-S10Pi)
132=ISPi/(S7IPi-S10IPi)
133=ISPi/(S7IPi-S10Pi)
134=S7IPi/(S7IPi-S10Pi)
135=S6IPi/(S7IPi-S10Pi)
136=S4IPi/(S7Pi-S10Pi)
137=S5IPi/(S7IPi-S10IPi)
138=S5Pi/(S7IPi-S10Pi)
139=S2IPi/(S6Pi-S7IPi)
141=S4IPi/(S7IPi-S10IPi)

mathe

最外面还有一次取整我没有标上。
从上面显示结果来看，虽然我的程序会去对这三个数去搜索每个数可以任意次取整的结果，但是实际上好像得到结果都只使用了一次取整就够了（而且总是对最终结果或直接Pi取整）。所以看来我们可以直接对这些特殊数据进行搜索，这样应该可以寻找更大的范围，从而得出更多结果。

mathe

搜索了很大范围，都不能找到140，144，190这三个数（在较小范围前面的数都能够找到）
看来140的确是不能用这种方法表示的了。
而我前面所谓稠密判断也肯定有问题了。
但是当然这个并不说明140不能表示出来，只要我们找到更加大的整数140^2到141^2之间的数，开平方后还是能够表示出来的。这些数不能被表示的概率还是非常小的。倒是-141看来比较难表示

mathe

比如
19625=S2IPi/(S13IPi-S14IPi)
再次开平方取整可以得到140
20870=S5IPi/(S14IPi-S16Pi)
再次开平方取整可以得到144
36211=S2IPi/(S14Pi-S15IPi)
再次开平方取整可以得到190
所以通过这种方法至少200以内都已经可以表示了。

无心人

什么都上升到理论高度
厉害

计算需要的精度， 目前来说至少要128位
你用GMP做的？