圆周率问题一则

mathe

sqrt(v+d, pi)-sqrt(v,pi) 可以非常非常小，比如d=1或-1时，我们知道这个差值小于sqrt(v,pi)-1，将非常非常小。 而分子通过使用不同的sqrt(u,pi)以后可以看出整个比例可以取到很多不同的值。 我感觉这种方法应该可以有更加强的结论:使得结果在整个实数轴上稠密。 (而对于d<0的情况，也就是结果大于0的情况，我们还可以对计算结果继续开平方得到更多的结果)

无心人

别遇到收敛函数啊

northwolves

$40=[pi*root{32}{pi}^pi]$

northwolves

$30=[[pi]^([pi]^root{32}{pi})]$

mathe

可以看我这里计算的一些结果，找到了1到139的所有表示（不考虑计算误差） 我们采用一种简洁的记号 Pi表示$pi$ 前缀S表示一次开根号,Sk表示连续k次开根号 前缀I表示一次取整，那么计算机搜索结果有: 1=ISPi/(SPi-ISPi) 2=ISPi/(SPi-S2Pi) 3=ISPi/(S2Pi-ISPi) 4=ISPi/(S2Pi-S4Pi) 5=ISPi/(S2Pi-S3Pi) 6=ISPi/(S3Pi-ISPi) 7=ISPi/(S3Pi-S8Pi) 8=ISPi/(S3Pi-S5Pi) 9=ISPi/(S3Pi-S5Pi) 10=S3Pi/(S3Pi-S5Pi) 11=S2Pi/(S3Pi-S5Pi) 12=ISPi/(S3Pi-S4Pi) 13=ISPi/(S4Pi-ISPi) 14=ISPi/(S4Pi-ISPi) 15=ISPi/(S4Pi-S8Pi) 16=ISPi/(S4Pi-S7Pi) 17=ISPi/(S4Pi-S6Pi) 18=ISPi/(S4Pi-S6Pi) 19=S7Pi/(S4Pi-S6Pi) 20=S4Pi/(S4Pi-S6Pi) 21=S3Pi/(S4Pi-S6Pi) 22=SPi/(S3Pi-S4Pi) 23=S2Pi/(S4Pi-S6Pi) 24=ISPi/(SPi-SPi) 25=ISPi/(S4Pi-S5Pi) 26=ISPi/(S4Pi-S5Pi) 27=ISPi/(S5Pi-ISPi) 28=ISPi/(S5Pi-ISPi) 29=ISPi/(S5Pi-S11Pi) 30=ISPi/(S5Pi-S9Pi) 31=ISPi/(S5Pi-S8Pi) 32=ISPi/(S5Pi-S8Pi) 33=S7Pi/(S5Pi-S8Pi) 34=S5Pi/(S5Pi-S8Pi) 35=ISPi/(S5Pi-S7Pi) 36=ISPi/(S5Pi-S7Pi) 37=S6Pi/(S5Pi-S7Pi) 38=ISPi/(S5Pi-S7Pi) 39=S6Pi/(S5Pi-S7Pi) 40=S4Pi/(S5Pi-S7Pi) 41=S4Pi/(S5Pi-S7Pi) 42=S3Pi/(S5Pi-S7Pi) 43=S3Pi/(S5Pi-S7Pi) 44=S3Pi/(S5Pi-S7Pi) 45=SPi/(S4Pi-S5Pi) 46=SPi/(S4Pi-S5Pi) 47=S2Pi/(S5Pi-S7Pi) 48=S2Pi/(S5Pi-S7Pi) 49=SPi/(S5Pi-ISPi) 50=S2Pi/(S5Pi-S7Pi) 51=S2Pi/(S5Pi-S7Pi) 52=ISPi/(S5Pi-S6Pi) 53=S6Pi/(S5Pi-S6Pi) 54=ISPi/(S5Pi-S6Pi) 55=ISPi/(S6Pi-ISPi) 56=ISPi/(S6Pi-S12Pi) 57=ISPi/(S6Pi-ISPi) 58=ISPi/(S6Pi-S13Pi) 59=ISPi/(S6Pi-S11Pi) 60=S7Pi/(S6Pi-S11Pi) 61=ISPi/(S6Pi-S10Pi) 62=ISPi/(S6Pi-S9Pi) 63=ISPi/(S6Pi-S9Pi) 64=S6Pi/(S6Pi-S9Pi) 65=ISPi/(S6Pi-S9Pi) 66=ISPi/(S6Pi-S9Pi) 67=S6Pi/(S6Pi-S9Pi) 68=S5Pi/(S6Pi-S9Pi) 69=S2Pi/(S5Pi-S6Pi) 70=S4Pi/(S6Pi-S9Pi) 71=S4Pi/(S6Pi-S9Pi) 72=ISPi/(S6Pi-S8Pi) 73=ISPi/(S6Pi-S8Pi) 74=S8Pi/(S6Pi-S8Pi) 75=S6Pi/(S6Pi-S8Pi) 76=ISPi/(S6Pi-S8Pi) 77=ISPi/(S6Pi-S8Pi) 78=S10Pi/(S6Pi-S8Pi) 79=S6Pi/(S6Pi-S8Pi) 80=S5Pi/(S6Pi-S8Pi) 81=S2Pi/(S6Pi-S10Pi) 82=S4Pi/(S6Pi-S8Pi) 83=S4Pi/(S6Pi-S8Pi) 84=S3Pi/(S6Pi-S8Pi) 85=S3Pi/(S6Pi-S8Pi) 86=S2Pi/(S6Pi-S9Pi) 87=S2Pi/(S6Pi-S9Pi) 88=S3Pi/(S6Pi-S8Pi) 89=S3Pi/(S6Pi-S8Pi) 90=SPi/(S5Pi-S6Pi) 91=Pi/(S5Pi-S9Pi) 92=SPi/(S5Pi-S6Pi) 93=Pi/(S5Pi-S8Pi) 94=SPi/(S5Pi-S6Pi) 95=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 96=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 97=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 98=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 99=SPi/(S6Pi-S11Pi) 100=SPi/(S6Pi-ISPi) 101=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 102=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 103=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 104=SPi/(S6Pi-S12Pi) 105=SPi/(S6Pi-S11Pi) 106=ISPi/(S6Pi-S7Pi) 107=S7Pi/(S6Pi-S7Pi) 108=SPi/(S6Pi-S9Pi) 109=S5Pi/(S6Pi-S7Pi) 110=ISPi/(S6Pi-S7Pi) 111=ISPi/(S7Pi-ISPi) 112=ISPi/(S7Pi-S14Pi) 113=ISPi/(S7Pi-S13Pi) 114=ISPi/(S7Pi-S12Pi) 115=ISPi/(S6Pi-S7Pi) 116=ISPi/(S7Pi-ISPi) 117=ISPi/(S7Pi-S13Pi) 118=ISPi/(S7Pi-S11Pi) 119=ISPi/(S7Pi-S12Pi) 120=ISPi/(S6Pi-S7Pi) 121=S7Pi/(S6Pi-S7Pi) 122=S6Pi/(S6Pi-S7Pi) 123=ISPi/(S7Pi-S11Pi) 124=ISPi/(S7Pi-S11Pi) 125=S7Pi/(S7Pi-S11Pi) 126=ISPi/(S7Pi-S10Pi) 127=ISPi/(S7Pi-S10Pi) 128=S7Pi/(S7Pi-S10Pi) 129=S6Pi/(S7Pi-S10Pi) 130=S5Pi/(S7Pi-S10Pi) 131=S5Pi/(S7Pi-S10Pi) 132=ISPi/(S7Pi-S10Pi) 133=ISPi/(S7Pi-S10Pi) 134=S7Pi/(S7Pi-S10Pi) 135=S6Pi/(S7Pi-S10Pi) 136=S4Pi/(S7Pi-S10Pi) 137=S5Pi/(S7Pi-S10Pi) 138=S5Pi/(S7Pi-S10Pi) 139=S2Pi/(S6Pi-S7Pi) 141=S4Pi/(S7Pi-S10Pi)

mathe

前面程序输出部分有点代码写错了，改成： 1=ISPi/(SIPi-ISPi) 2=ISPi/(SIPi-S2IPi) 3=ISPi/(S2IPi-ISPi) 4=ISPi/(S2IPi-S4IPi) 5=ISPi/(S2IPi-S3IPi) 6=ISPi/(S3IPi-ISPi) 7=ISPi/(S3IPi-S8Pi) 8=ISPi/(S3IPi-S5IPi) 9=ISPi/(S3IPi-S5Pi) 10=S3IPi/(S3IPi-S5IPi) 11=S2IPi/(S3IPi-S5IPi) 12=ISPi/(S3Pi-S4IPi) 13=ISPi/(S4Pi-ISPi) 14=ISPi/(S4IPi-ISPi) 15=ISPi/(S4IPi-S8Pi) 16=ISPi/(S4IPi-S7IPi) 17=ISPi/(S4Pi-S6IPi) 18=ISPi/(S4IPi-S6IPi) 19=S7IPi/(S4IPi-S6Pi) 20=S4IPi/(S4IPi-S6Pi) 21=S3IPi/(S4IPi-S6IPi) 22=SIPi/(S3IPi-S4IPi) 23=S2IPi/(S4Pi-S6IPi) 24=ISPi/(SPi-SIPi) 25=ISPi/(S4Pi-S5IPi) 26=ISPi/(S4Pi-S5Pi) 27=ISPi/(S5Pi-ISPi) 28=ISPi/(S5IPi-ISPi) 29=ISPi/(S5IPi-S11IPi) 30=ISPi/(S5IPi-S9IPi) 31=ISPi/(S5Pi-S8IPi) 32=ISPi/(S5IPi-S8IPi) 33=S7IPi/(S5IPi-S8Pi) 34=S5Pi/(S5IPi-S8Pi) 35=ISPi/(S5Pi-S7IPi) 36=ISPi/(S5Pi-S7Pi) 37=S6IPi/(S5Pi-S7Pi) 38=ISPi/(S5IPi-S7IPi) 39=S6IPi/(S5IPi-S7Pi) 40=S4IPi/(S5IPi-S7IPi) 41=S4IPi/(S5IPi-S7Pi) 42=S3Pi/(S5Pi-S7Pi) 43=S3IPi/(S5IPi-S7IPi) 44=S3IPi/(S5IPi-S7Pi) 45=SIPi/(S4Pi-S5Pi) 46=SPi/(S4Pi-S5Pi) 47=S2IPi/(S5Pi-S7IPi) 48=S2Pi/(S5Pi-S7Pi) 49=SIPi/(S5IPi-ISPi) 50=S2IPi/(S5IPi-S7IPi) 51=S2Pi/(S5IPi-S7Pi) 52=ISPi/(S5Pi-S6IPi) 53=S6IPi/(S5Pi-S6IPi) 54=ISPi/(S5Pi-S6Pi) 55=ISPi/(S6Pi-ISPi) 56=ISPi/(S6Pi-S12IPi) 57=ISPi/(S6IPi-ISPi) 58=ISPi/(S6IPi-S13IPi) 59=ISPi/(S6IPi-S11IPi) 60=S7IPi/(S6IPi-S11IPi) 61=ISPi/(S6IPi-S10IPi) 62=ISPi/(S6Pi-S9IPi) 63=ISPi/(S6Pi-S9Pi) 64=S6IPi/(S6Pi-S9Pi) 65=ISPi/(S6IPi-S9IPi) 66=ISPi/(S6IPi-S9Pi) 67=S6IPi/(S6IPi-S9IPi) 68=S5IPi/(S6IPi-S9IPi) 69=S2Pi/(S5Pi-S6IPi) 70=S4IPi/(S6IPi-S9IPi) 71=S4IPi/(S6IPi-S9Pi) 72=ISPi/(S6Pi-S8IPi) 73=ISPi/(S6Pi-S8Pi) 74=S8IPi/(S6Pi-S8Pi) 75=S6Pi/(S6Pi-S8Pi) 76=ISPi/(S6IPi-S8IPi) 77=ISPi/(S6IPi-S8Pi) 78=S10IPi/(S6IPi-S8Pi) 79=S6IPi/(S6IPi-S8Pi) 80=S5IPi/(S6IPi-S8Pi) 81=S2IPi/(S6IPi-S10IPi) 82=S4IPi/(S6IPi-S8IPi) 83=S4IPi/(S6IPi-S8Pi) 84=S3IPi/(S6Pi-S8Pi) 85=S3Pi/(S6Pi-S8Pi) 86=S2IPi/(S6IPi-S9IPi) 87=S2IPi/(S6IPi-S9Pi) 88=S3IPi/(S6IPi-S8IPi) 89=S3IPi/(S6IPi-S8Pi) 90=SIPi/(S5Pi-S6IPi) 91=IPi/(S5IPi-S9IPi) 92=SPi/(S5Pi-S6IPi) 93=IPi/(S5Pi-S8IPi) 94=SIPi/(S5Pi-S6Pi) 95=S2IPi/(S6Pi-S8IPi) 96=S2Pi/(S6Pi-S8IPi) 97=S2IPi/(S6Pi-S8Pi) 98=S2Pi/(S6Pi-S8Pi) 99=SIPi/(S6Pi-S11Pi) 100=SIPi/(S6IPi-ISPi) 101=S2IPi/(S6IPi-S8IPi) 102=S2IPi/(S6IPi-S8Pi) 103=S2Pi/(S6IPi-S8Pi) 104=SPi/(S6IPi-S12Pi) 105=SPi/(S6IPi-S11IPi) 106=ISPi/(S6Pi-S7IPi) 107=S7Pi/(S6Pi-S7IPi) 108=SIPi/(S6Pi-S9IPi) 109=S5IPi/(S6Pi-S7IPi) 110=ISPi/(S6Pi-S7Pi) 111=ISPi/(S7Pi-ISPi) 112=ISPi/(S7Pi-S14IPi) 113=ISPi/(S7Pi-S13IPi) 114=ISPi/(S7Pi-S12IPi) 115=ISPi/(S6IPi-S7IPi) 116=ISPi/(S7IPi-ISPi) 117=ISPi/(S7IPi-S13IPi) 118=ISPi/(S7Pi-S11IPi) 119=ISPi/(S7IPi-S12IPi) 120=ISPi/(S6IPi-S7Pi) 121=S7IPi/(S6IPi-S7Pi) 122=S6IPi/(S6IPi-S7Pi) 123=ISPi/(S7IPi-S11IPi) 124=ISPi/(S7IPi-S11Pi) 125=S7IPi/(S7IPi-S11Pi) 126=ISPi/(S7Pi-S10IPi) 127=ISPi/(S7Pi-S10Pi) 128=S7IPi/(S7Pi-S10Pi) 129=S6IPi/(S7Pi-S10Pi) 130=S5IPi/(S7Pi-S10IPi) 131=S5IPi/(S7Pi-S10Pi) 132=ISPi/(S7IPi-S10IPi) 133=ISPi/(S7IPi-S10Pi) 134=S7IPi/(S7IPi-S10Pi) 135=S6IPi/(S7IPi-S10Pi) 136=S4IPi/(S7Pi-S10Pi) 137=S5IPi/(S7IPi-S10IPi) 138=S5Pi/(S7IPi-S10Pi) 139=S2IPi/(S6Pi-S7IPi) 141=S4IPi/(S7IPi-S10IPi)

mathe

最外面还有一次取整我没有标上。 从上面显示结果来看，虽然我的程序会去对这三个数去搜索每个数可以任意次取整的结果，但是实际上好像得到结果都只使用了一次取整就够了（而且总是对最终结果或直接Pi取整）。所以看来我们可以直接对这些特殊数据进行搜索，这样应该可以寻找更大的范围，从而得出更多结果。

mathe

搜索了很大范围，都不能找到140，144，190这三个数（在较小范围前面的数都能够找到） 看来140的确是不能用这种方法表示的了。 而我前面所谓稠密判断也肯定有问题了。 但是当然这个并不说明140不能表示出来，只要我们找到更加大的整数140^2到141^2之间的数，开平方后还是能够表示出来的。这些数不能被表示的概率还是非常小的。倒是-141看来比较难表示

mathe

比如 19625=S2IPi/(S13IPi-S14IPi) 再次开平方取整可以得到140 20870=S5IPi/(S14IPi-S16Pi) 再次开平方取整可以得到144 36211=S2IPi/(S14Pi-S15IPi) 再次开平方取整可以得到190 所以通过这种方法至少200以内都已经可以表示了。

无心人

什么都上升到理论高度 厉害 计算需要的精度， 目前来说至少要128位 你用GMP做的？