超级几何难题：六个圆柱相交问题

iseemu2009

半径为 1 的六个相同圆柱体相交的实体，CAD精确作图视觉展示，共有 120 个球面区域：体积和表面积的精确公式还没有求得，要用到多重积分，太过复杂，但实践可得：
相贯体的准确体积是：4.37763826
准确表面积是：13.13291479

wayne

Mathematica 画图如下.

1. faces=PolyhedronData["Dodecahedron","FaceIndices"];
   
2. pts=PolyhedronData["Dodecahedron","VertexCoordinates"];
   
3. centers=RootReduce[10Total[pts[[#]]]&/@faces];r=First@Union[Table[FullSimplify[Total[(pts[[f]]-Total[pts[[faces[[2]]]]])^2]],{f,faces[[2]]}]];
   
4. Graphics3D[{Cylinder[centers[[{1,2}]],r],Cylinder[centers[[{3,8}]],r],Cylinder[centers[[{4,9}]],r],Cylinder[centers[[{5,10}]],r],Cylinder[centers[[{6,11}]],r],Cylinder[centers[[{7,12}]],r]}]

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iseemu2009

相交体的数据剖析，一个橘色曲面的表面积是 0.21888191，乘以60就是相交体的表面积。本图实体的体积是 0.07296064，乘以60就是相交体的体积。这个图也就是8#中的中部第二块橘色区域的四条曲线边向中心O作切割得到。希望有数学大神能根据图中数据推出表面和体积公式。

hejoseph

可以用类似的方法求体积，图6.3.4两个几何体体积是相同的，用后面一个就很容易求出体积了，表面积就是展开后做一个积分运算

wayne

hejoseph 发表于 2025-4-25 12:16
不是这个，看这里
https://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
最后一个就是，上面算的是三个互 ...

体积难道不是 $\frac{16}{3} (-4 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+3) = 4.305319...$ 吗.

wayne

1#的六个圆柱体的轴线两两之间的夹角都是90度,向量方向就是 立方体的六个面的对角线的方向.
4#的六个圆柱体的轴线两两之间的夹角是$\sec ^{-1}(\sqrt{5})$或者$\pi-\sec ^{-1}(\sqrt{5})$, 所以如果考虑圆柱体的朝向,夹角是不相等的, 但如果无视,倒是可以看作夹角相等.

hejoseph

先给出#1几何体体积的计算方法：
利用#7前两个图的构造方法可知截顶正八面体的内棱切球半径为 $1$，所以截顶正八面体的棱长为
\[
\frac{2}{3}
\]
体积为
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^3\times 8\sqrt{2}=\frac{64\sqrt{2}}{27}
\]
中心到正方形面的距离为
\[
\frac{2}{3}\sqrt{2}
\]
利用图 6.3.4 的割补方法，正方形面延申到底部的正方形边长为
\[
\frac{2}{3}\times\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{3}\sqrt{2}\right)^2}}=2
\]
所以正方形面所补上的圆柱片的体积为
\begin{align*}
&2^2\times\left(1-\frac{2}{3}\sqrt{2}\right)-\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{2}{3}\sqrt{2}\right)\times\left(2^2+\sqrt{2^2\times\left(2^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)}+\left(2^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)\right)\\
={}&\frac{8}{81}\left(27-19\sqrt{2}\right)
\end{align*}
中心到正六边形面的距离为
\[
\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}
\]
利用图 6.3.4 的割补方法，正六边形面延申到底部的正六边形边长为
\[
\frac{2}{3}\times\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\]
底部正六边形面积为
\[
\frac{2\sqrt{3}}{3}\times\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2=2\sqrt{3}
\]
底部正六边形面积去掉正六边形面的面积为
\[
2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\times\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{4\sqrt{3}}{3}
\]
所以正六边形所补上的圆柱片的体积为
\begin{align*}
&2\sqrt{3}\times\left(1-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)-\frac{1}{3}\times\left(1-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\times\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}\times\frac{4\sqrt{3}}{3}}+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\\
={}&\frac{2}{9}\left(6\sqrt{3}-7\sqrt{2}\right)\\
\end{align*}
因此所求几何体的体积为
\[
\frac{64\sqrt{2}}{27}+6\times\frac{8}{81}\left(27-19\sqrt{2}\right)+8\times\frac{2}{9}\left(6\sqrt{3}-7\sqrt{2}\right)=\frac{16}{3}(3-4\sqrt{2}+2\sqrt{3})
\]

hejoseph

从圆柱的某一条直母线展开圆柱后斜截圆柱的截线的轨迹线是正弦曲线，因此要求表面积，只要求出这条正弦曲线以及展开后截点位置即可

hejoseph

继续求#1几何体的表面积
从体积的计算结果来看，正方形面的圆柱片展开后的截线轨迹方程为
\[
y=\sin x
\]
截点的横坐标为
\[
x=\arcsin\frac{1}{3}
\]
所以正方形面圆柱片的表面积为
\[
8\int_0^{\arcsin\frac{1}{3}}\sin x dx=\frac{8}{3}(3-2 \sqrt{2})
\]
正六边形面的圆柱片展开后的截线轨迹方程为
\[
y=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin x
\]
截点的横坐标为
\[
x=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}
\]
所以正六边形面圆柱片的表面积为
\[
12\int_0^{\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}}\frac{\sqrt{3}}{3}\sin x dx=4(\sqrt{3}-\sqrt{2})
\]
因此所求几何体的表面积为
\[
6\times\frac{8}{3}(3-2 \sqrt{2})+8\times 4(\sqrt{3}-\sqrt{2})=16(3-4\sqrt{2}+2\sqrt{3})
\]

hejoseph

通过几个这种几何体的体积和表面积的数值关系，可以猜测：若这种半径为 $1$ 的圆柱构成几何体的表面积为 $S$，体积为 $V$，则 $S=3V$。