超级几何难题：六个圆柱相交问题

hejoseph

同样的方法，可求得4#的几何体体积、表面积分别为
\[
40\sqrt{5}-10\sqrt{50+10 \sqrt{5}}，120\sqrt{5}-30\sqrt{50+10 \sqrt{5}}
\]

iseemu2009

hejoseph 发表于 2025-4-28 16:18
同样的方法，可求得4#的几何体体积、表面积分别为
\[
40\sqrt{5}-10\sqrt{50+10 \sqrt{5}}，120\sqrt{5}-30 ...

真乃神人也，完全正确，和我CAD精确值是一样的。

iseemu2009

hejoseph 发表于 2025-4-28 16:18
同样的方法，可求得4#的几何体体积、表面积分别为
\[
40\sqrt{5}-10\sqrt{50+10 \sqrt{5}}，120\sqrt{5}-30 ...

非常厉害，没用积分，用割补法就解出来了。可否接受一个挑战？ 4#的问题，每个圆柱的半径为 11，12，13，14，15，16 时，相交几何体的表面积和体积是多少？
我稍后会用 CAD精确作图给出正确答案，我只是想知道一般的解法。

iseemu2009

iseemu2009 发表于 2025-4-28 17:32
非常厉害，没用积分，用割补法就解出来了。可否接受一个挑战？ 4#的问题，每个圆柱的半径为 11，12，13， ...

我知道一定会用到积分才能求出，但六个半径不同，是不是会积6次分？ 还是积 x,y,z 的三次分？

hejoseph

hejoseph 发表于 2025-4-28 15:15
通过几个这种几何体的体积和表面积的数值关系，可以猜测：若这种半径为 $1$ 的圆柱构成几何体的表面积为 $S ...

已得到证明。
沿直母线均匀划分圆柱面，每两段之间的区域变为平面，此时中心到这些区域的距离都相等，体积就是这些区域的面积和乘以中心到区域的距离再乘以三分之一。当区域间距趋于无穷小时，区域面积和就等于圆柱面区域的面积，中心到这些区域的距离就等于圆柱的半径，所以其体积就是圆柱面区域的面积乘以圆柱的半径再乘以三分之一。
因此只要知道体积、表面积其中一个，其余的量就能求出来。

wayne

这题主要是没有一个很好的工具，辅助分析。还是你们会CAD的比较得心应手。

你们都用的是啥CAD软件，可否推荐几个

iseemu2009

半径各不同的六个圆柱相交例子

hejoseph

补个直观图，分别对应于正四面体或正方体中心与顶点连线为轴、半径相等的圆柱公共部分；以平行于正方体的对角线为轴、半径相等的圆柱公共部分；正二十面体中心与顶点连线为轴、半径相等的圆柱公共部分。

iseemu2009

10个半径为1的圆柱，每个圆柱的轴线穿过正20面体相对面的中心，10个圆柱的公共部分形成相交体。
相交体的准确表面积：12.83147415
                准确体积：4.27715805

hejoseph

iseemu2009 发表于 2025-5-4 23:25
10个半径为1的圆柱，每个圆柱的轴线穿过正20面体相对面的中心，10个圆柱的公共部分形成相交体。
相交体的准 ...

还是老办法，可求得体积是：$5(24+24\sqrt{2}+\sqrt{3}-4\sqrt{6}-7\sqrt{15}-4\sqrt{30})$，根据上面得到的结论，表面积为体积的三倍。