一道趣题

nyy · 发表于前天 16:20

王守恩发表于 2025-5-14 12:16
{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 27 ...

你的通项公式是怎么得到的？
是通过待定系数法吗？
先假设是关于行与列的二次函数，
然后待定系数吗？

nyy · 发表于前天 16:23

王守恩发表于 2025-5-15 10:47
谢谢 wayne！应该是这个。谢谢 wayne！

Table[R = Round[Sqrt[2] T]; {(R - R^2 + 2 T^2)/2, (R + R^2 - ...

我认为你应该用Floor函数，而不是Round函数

iseemu2009 · 发表于昨天 09:51

通项公式的求法

nyy · 发表于昨天 10:37

王守恩发表于 2025-5-14 12:16
{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 27 ...

我来根据你的通项公式，然后由T得到(m,n)的通项公式

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*假设数T在第一行,先算出(1,t),t向下取整*)
ans=Solve[{
((m+n)^2-m-3n+2)/2
==T/.{m->1}
},{n}]
t=Floor[n]/.ans[[2]]
aa=T-((m+n)^2-m-3n+2)/2/.{m->1,n->t} (*算出T与(1,t)所对应的差值*)
{m,n}={1+aa,t-aa}//FullSimplify (*根据差值移动(1,t)到(m,n),这样就是通项公式*)
bb=Table[{m,n,T},{T,50}](*检验一下通项公式*)

复制代码

求解结果
\[\left\{\frac{1}{2} \left(-\left\lfloor \frac{1}{2} \left(\sqrt{8 T-7}+1\right)\right\rfloor ^2+\left\lfloor \frac{1}{2} \left(\sqrt{8 T-7}+1\right)\right\rfloor +2 T\right),\frac{1}{2} \left(\left\lfloor \frac{1}{2} \left(\sqrt{8 T-7}+1\right)\right\rfloor ^2+\left\lfloor \frac{1}{2} \left(\sqrt{8 T-7}+1\right)\right\rfloor -2 T+2\right)\right\}\]

{{1, 1, 1}, {1, 2, 2}, {2, 1, 3}, {1, 3, 4}, {2, 2, 5}, {3, 1, 6}, {1,
4, 7}, {2, 3, 8}, {3, 2, 9}, {4, 1, 10}, {1, 5, 11}, {2, 4,
  12}, {3, 3, 13}, {4, 2, 14}, {5, 1, 15}, {1, 6, 16}, {2, 5, 17}, {3,
4, 18}, {4, 3, 19}, {5, 2, 20}, {6, 1, 21}, {1, 7, 22}, {2, 6,
  23}, {3, 5, 24}, {4, 4, 25}, {5, 3, 26}, {6, 2, 27}, {7, 1, 28}, {1,
8, 29}, {2, 7, 30}, {3, 6, 31}, {4, 5, 32}, {5, 4, 33}, {6, 3,
  34}, {7, 2, 35}, {8, 1, 36}, {1, 9, 37}, {2, 8, 38}, {3, 7, 39}, {4,
6, 40}, {5, 5, 41}, {6, 4, 42}, {7, 3, 43}, {8, 2, 44}, {9, 1,
  45}, {1, 10, 46}, {2, 9, 47}, {3, 8, 48}, {4, 7, 49}, {5, 6, 50}}

nyy · 发表于昨天 10:56

nyy 发表于 2025-5-16 10:37
我来根据你的通项公式，然后由T得到(m,n)的通项公式

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*假设数T在第一行,先算出(1,t),t向下取整*)
ans=Solve[{
((m+n)^2-m-3n+2)/2
==T/.{m->1}
},{n}]
t=Floor[n]/.ans[[2]]
aa=T-((m+n)^2-m-3n+2)/2/.{m->1,n->t} (*算出T与(1,t)所对应的差值*)
{m,n}={1+aa,t-aa}//FullSimplify (*根据差值移动(1,t)到(m,n),这样就是通项公式*)
bb=Table[{m,n,T},{T,50}](*检验一下通项公式*)
f=Function[{T},{#1,#2}]/.{#1->m,#2->n}(*定义函数*)
MatrixForm[SparseArray[Table[f[k]->Style[k,Blue,20],{k,50}]]]

复制代码

得到结果

nyy · 发表于昨天 11:48

nyy 发表于 2025-5-16 10:37
我来根据你的通项公式，然后由T得到(m,n)的通项公式

谁能把上面的取下整放在表达式的最外面？
我觉得放在表达式的里面太丑了！

iseemu2009 · 发表于昨天 12:22

求T在第几行第几列详细过程

iseemu2009 · 发表于昨天 12:24

本帖最后由 iseemu2009 于 2025-5-16 12:27 编辑

上面的详细过程最终用编程就是如下代码，T值可任意修改，求T在数列的第几行第几列：

T = 26; k = Ceiling[(Sqrt[8 T + 1] - 1)/2];
{m = 1 + T - (k^2 - k + 2)/2, n = k - T + (k^2 - k + 2)/2}

复制代码

王守恩 · 发表于昨天 13:55

iseemu2009 发表于 2025-5-16 12:24
上面的详细过程最终用编程就是如下代码，T值可任意修改，求T在数列的第几行第几列：
...

这个与你是等价的。

Table[k = Round[Sqrt[2 T]]; {k - k^2 + 2 T, k + k^2 - 2 T + 2}/2, {T, 26}]

{{1, 1}, {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}, {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}, {1, 6}, {2, 5}, {3, 4}, {4, 3}, {5, 2}, {6, 1}, {1, 7}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}}

iseemu2009 · 发表于昨天 15:37

求新数列的通项公式

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