一道趣题

王守恩

iseemu2009 发表于 2025-5-16 15:37
求新数列的通项公式

{1, 2, 6, 7, 15, 16, 28, 29, 45, 46, 66, 67, 91, 92, 120, 121, 153, 154, 190, 191, 231, 232, 276, 277, 325, 326, 378, 379, 435, 436, 496, 497, 561, 562, 630, 631, 703, 704, 780, 781},
{3, 5, 8, 14, 17, 27, 30, 44, 47, 65, 68, 90, 93, 119, 122, 152, 155, 189, 192, 230, 233, 275, 278, 324, 327, 377, 380, 434, 437, 495, 498, 560, 563, 629, 632, 702, 705, 779, 782, 860},
{4, 9, 13, 18, 26, 31, 43, 48, 64, 69, 89, 94, 118, 123, 151, 156, 188, 193, 229, 234, 274, 279, 323, 328, 376, 381, 433, 438, 494, 499, 559, 564, 628, 633, 701, 706, 778, 783, 859, 864},
{10, 12, 19, 25, 32, 42, 49, 63, 70, 88, 95, 117, 124, 150, 157, 187, 194, 228, 235, 273, 280, 322, 329, 375, 382, 432, 439, 493, 500, 558, 565, 627, 634, 700, 707, 777, 784, 858, 865, 943},
{11, 20, 24, 33, 41, 50, 62, 71, 87, 96, 116, 125, 149, 158, 186, 195, 227, 236, 272, 281, 321, 330, 374, 383, 431, 440, 492, 501, 557, 566, 626, 635, 699, 708, 776, 785, 857, 866, 942, 951},
{21, 23, 34, 40, 51, 61, 72, 86, 97, 115, 126, 148, 159, 185, 196, 226, 237, 271, 282, 320, 331, 373, 384, 430, 441, 491, 502, 556, 567, 625, 636, 698, 709, 775, 786, 856, 867, 941, 952, 1030},
{22, 35, 39, 52, 60, 73, 85, 98, 114, 127, 147, 160, 184, 197, 225, 238, 270, 283, 319, 332, 372, 385, 429, 442, 490, 503, 555, 568, 624, 637, 697, 710, 774, 787, 855, 868, 940, 953, 1029, 1042},
{36, 38, 53, 59, 74, 84, 99, 113, 128, 146, 161, 183, 198, 224, 239, 269, 284, 318, 333, 371, 386, 428, 443, 489, 504, 554,  569, 623, 638, 696, 711, 773, 788, 854, 869, 939, 954, 1028, 1043, 1121},
{37, 54, 58, 75, 83, 100, 112, 129, 145, 162, 182, 199, 223, 240, 268, 285, 317, 334, 370, 387, 427, 444, 488, 505, 553, 570, 622, 639, 695, 712, 772, 789, 853, 870, 938, 955, 1027, 1044, 1120, 1137}

Table[((m + n) (m + n - 2) - Cos[(m - n) Pi] (m - n) + 2)/2, {m, 9}, {n, 40}]

nyy

iseemu2009 发表于 2025-5-16 15:37
求新数列的通项公式

你可以把第1行和第1列的通项公式先搞出来

iseemu2009

王守恩 发表于 2025-5-16 16:37
{1, 2, 6, 7, 15, 16, 28, 29, 45, 46, 66, 67, 91, 92, 120, 121, 153, 154, 190, 191, 231, 232, 276,  ...

你的程序已经把规律找到了，稍作一下变形就得到通项公式：

1. m = 4;      n = 3;
   
2. Table[((a + b) (a + b - 2) - Cos[(a - b) Pi]  (a - b) + 2)/2, {a, m}, {b, n}][[m, n]]

复制代码

王守恩

iseemu2009 发表于 2025-5-16 17:43
你的程序已经把规律找到了，稍作一下变形就得到通项公式：

已知某个数, 把 m,n 找出来我还是不会。

nyy

FindSequenceFunction，找数列通项公式的函数，
mathematica软件

nyy

这是人工智能找出来的通项公式

nyy

nyy 发表于 2025-5-16 18:41
这是人工智能找出来的通项公式

根据人工智能找出来的通项公式，
求解应该容易一些

iseemu2009

新数列求任意指定数U，在多少行多少列

iseemu2009

对应的程序如下，很简洁，和前例一样，只是奇、偶时它们位置交换了。

1. Clear["`*"]
   
2. U = 21;          W = Ceiling[(Sqrt[8 U + 1] - 1)/2];
   
3. If[EvenQ[W], {1 + (U - (W^2 - W + 2)/2) ,  W - (U - (W^2 - W + 2)/2) }, {W - (U - (W^2 - W + 2)/2) ,  1 + (U - (W^2 - W + 2)/2)}]

复制代码

wayne

wayne 发表于 2025-5-15 09:47
第三问,设$T=f(m,n)$,,那么逆推公式就是$m=\frac{R}{2}+T-\frac{R^2}{2}, n= \frac{R}{2}-T+\frac{R^2}{2}+ ...

@王守恩, 因为王守恩对本公式有改进,特公布一下推导过程.
解方程$(x^2 + y^2 + 2 x y - x - 3 y + 2) = 2 T, x + y - 1 = r, x - y + 1 = s$ 得到$r^2 + s = 2 T$, 其中$(x,y) =(\frac{r + s}{2},\frac{r - s}{2}+1)$,
现在回到$r^2 + s = 2 T$, 我们得知 $2-r<s=x - y + 1<r$, 所以, $r=round(2T), s=2 T-r^2$, 代入就能得到在9#的通项逆推公式