关于三角形或四面体，我也提一个问题。。。

mathe

hujunhua 发表于 2013-11-30 10:16
从力学上看，最后一问的回答是肯定的，没有例外。
至于是否有多解，凭经验应该是唯一解，因为那样的力学模 ...

多解是显然的。对于x,y,z,w为长度的任意一个空间四边形，平移四条有向边让它们的尾巴落在P点，于是它们的头就是所求的A,B,D,D.显然P为A,B,C,D四点重心，也正好是四面体重心。于是四部分体积相等。
特别的，如果我们选择这个空间四边形退化为平面四边形，得到四面体退化为平面图形，四部分体积都是0.也就是体积下界为0.

hujunhua

那就是有无穷多解了。看来与平面的情况有所不同啊。
我所使用的力学模型在三维的情况可能要求的约束更多（不能允许零体积解，是奇点），不只是重心而已。
力学模型得到的解或许是体积最大的解。从中也许可以导出体积最大的条件，待抽空试试。

mathe

关于四面体六条边都相等的情况，解应该唯一，其中边长的平方满足一个四次方程。
设PA,PB,PC,PD对应向量分别为a,b,c,d.边长平方为X,于是我们知道$(a-b)^2=(a-c)^2=...=(c-d)^2=X$
所以$ab={a^2+b^2-X}/2$等
由于三维空间必然存在不全为零的数值$r,s,t,u$使得$r*a+s*b+t*c+u*d=0$,分别将这个零向量和a,b,c,d等作内积得出
$([(2a^2, a^2+b^2,a^2+c^2,a^2+d^2),(a^2+b^2,2b^2,b^2+c^2,b^2+d^2),(a^2+c^2,b^2+c^2,2c^2,c^2+d^2),(a^2+d^2,b^2+d^2,c^2+d^2,2d^2)]-X[(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)])[(r),(s),(t),(u)]=0$
上面可以写成矩阵形式$(A-XB)r=0$,等价$det(A-XB)=0$,或者说X是矩阵$AB^{-1}$的特征值。

数学星空

对于20#的方程：（我们算得）
186624*t^32+15264*s1^12*s2^2-44928*s1^11*s2*s3+331776*s1^4*s3^4+165888*s1^7*s3^3+(1612128*s1^4-5798656*s1^2*s2+3072*s1^2+821248*s1*s3+4181504*s2^2-8192*s2-796672*s4)*t^24+(-12600*s1^13+211536*s1^11*s2-7944*s1^11-232992*s1^10*s3-1419072*s1^9*s2^2+110128*s1^9*s2+117504*s1^9*s4+2932224*s1^8*s2*s3+4799232*s1^7*s2^3-71712*s1^8*s3-594304*s1^7*s2^2-1360896*s1^7*s2*s4-1442304*s1^7*s3^2-13656576*s1^6*s2^2*s3-8414208*s1^5*s2^4+32256*s1^7*s4+697856*s1^6*s2*s3+1161216*s1^6*s3*s4+1548800*s1^5*s2^3+5701632*s1^5*s2^2*s4+12195840*s1^5*s2*s3^2+28151808*s1^4*s2^3*s3+6881280*s1^3*s2^5-263168*s1^5*s2*s4-157696*s1^5*s3^2+294912*s1^5*s4^2-2385920*s1^4*s2^2*s3-8699904*s1^4*s2*s3*s4-3354624*s1^4*s3^3-1922048*s1^3*s2^4-10125312*s1^3*s2^3*s4-32538624*s1^3*s2^2*s3^2-23003136*s1^2*s2^4*s3-1769472*s1*s2^6-219136*s1^4*s3*s4+798720*s1^3*s2^2*s4+982016*s1^3*s2*s3^2-1966080*s1^3*s2*s4^2+2064384*s1^3*s3^2*s4+3194880*s1^2*s2^3*s3+19857408*s1^2*s2^2*s3*s4+15040512*s1^2*s2*s3^3+884736*s1*s2^5+6291456*s1*s2^4*s4+26443776*s1*s2^3*s3^2+3538944*s2^5*s3+524288*s1^3*s4^2+442368*s1^2*s2*s3*s4-149504*s1^2*s3^3+2359296*s1^2*s3*s4^2-851968*s1*s2^3*s4-1445888*s1*s2^2*s3^2+3145728*s1*s2^2*s4^2-6684672*s1*s2*s3^2*s4-2211840*s1*s3^4-1179648*s2^4*s3-12582912*s2^3*s3*s4-12386304*s2^2*s3^3-1310720*s1*s2*s4^2+311296*s1*s3^2*s4+131072*s2^2*s3*s4+278528*s2*s3^3-6291456*s2*s3*s4^2+2359296*s3^3*s4-524288*s3*s4^2)*t^6+308736*s1^9*s2^2*s3+(1056704*s1^6-6716416*s1^4*s2+45024*s1^4+1846784*s1^3*s3+12848128*s1^2*s2^2-185600*s1^2*s2-2279424*s1^2*s4-4409344*s1*s2*s3-6754304*s2^3+195584*s1*s3+91648*s2^2+4210688*s2*s4+518144*s3^2-137216*s4)*t^20+81*s1^16-1769472*s1^2*s2*s3^4+(-648*s1^15+12816*s1^13*s2-17568*s1^12*s3-103872*s1^11*s2^2+4608*s1^11*s4+274944*s1^10*s2*s3+440064*s1^9*s2^3-67584*s1^9*s2*s4-172800*s1^9*s3^2-1672704*s1^8*s2^2*s3-1022976*s1^7*s2^4+110592*s1^8*s3*s4+368640*s1^7*s2^2*s4+1981440*s1^7*s2*s3^2+4902912*s1^6*s2^3*s3+1228800*s1^5*s2^5-1179648*s1^6*s2*s3*s4-718848*s1^6*s3^3-884736*s1^5*s2^3*s4-8036352*s1^5*s2^2*s3^2-6832128*s1^4*s2^4*s3-589824*s1^3*s2^6+884736*s1^5*s3^2*s4+4128768*s1^4*s2^2*s3*s4+5160960*s1^4*s2*s3^3+786432*s1^3*s2^4*s4+13271040*s1^3*s2^3*s3^2+3538944*s1^2*s2^5*s3-5898240*s1^3*s2*s3^2*s4-1032192*s1^3*s3^4-4718592*s1^2*s2^3*s3*s4-10420224*s1^2*s2^2*s3^3-7077888*s1*s2^4*s3^2+2359296*s1^2*s3^3*s4+9437184*s1*s2^2*s3^2*s4+2752512*s1*s2*s3^4+4718592*s2^3*s3^3-6291456*s2*s3^3*s4)*t^2+2045952*s1^6*s2^2*s3^2-4423680*s1^4*s2^3*s3^2+147456*s1^4*s2^6+186624*s1^8*s2^4-1548288*s1^5*s2*s3^3+(364785*s1^8-3448528*s1^6*s2+115228*s1^6+1888512*s1^5*s3+11318368*s1^4*s2^2-729584*s1^4*s2-2111616*s1^4*s4-9786368*s1^3*s2*s3-14654720*s1^2*s2^3+636160*s1^3*s3+1212992*s1^2*s2^2+9057280*s1^2*s2*s4+3399680*s1^2*s3^2+11239424*s1*s2^2*s3+5832960*s2^4-676608*s1^2*s4-1246208*s1*s2*s3-4096000*s1*s3*s4-405760*s2^3-7309312*s2^2*s4-4440064*s2*s3^2+959488*s2*s4-32768*s3^2-126976*s4^2)*t^16+(-1402176*s1^5+6702848*s1^3*s2-16128*s1^3-1516032*s1^2*s3-7675904*s1*s2^2+52224*s1*s2+1302528*s1*s4+2129920*s2*s3-55296*s3)*t^22-1179648*s1^3*s2^5*s3-4718592*s1*s2^3*s3^3+(1045248*s1^2-1377280*s2)*t^28-1728*s1^14*s2+(-642048*s1^7+4979456*s1^5*s2-84336*s1^5-2006912*s1^4*s3-12409856*s1^3*s2^2+436096*s1^3*s2+2195456*s1^3*s4+7842816*s1^2*s2*s3+9768960*s1*s2^3-438528*s1^2*s3-456448*s1*s2^2-5931008*s1*s2*s4-1736704*s1*s3^2-5388288*s2^2*s3+340992*s1*s4+472064*s2*s3+2449408*s3*s4)*t^18+(33638*s1^12-510128*s1^10*s2+26244*s1^10+523360*s1^9*s3+3025664*s1^8*s2^2-318000*s1^8*s2-361344*s1^8*s4-5706368*s1^7*s2*s3-8760320*s1^6*s2^3+201408*s1^7*s3+1449344*s1^6*s2^2+3501056*s1^6*s2*s4+2451072*s1^6*s3^2+22141440*s1^5*s2^2*s3+12436992*s1^4*s2^4-167424*s1^6*s4-1582080*s1^5*s2*s3-2641920*s1^5*s3*s4-3024384*s1^4*s2^3-11499520*s1^4*s2^2*s4-16526336*s1^4*s2*s3^2-35469312*s1^3*s2^3*s3-7262208*s1^2*s2^5+1090560*s1^4*s2*s4+262656*s1^4*s3^2-159744*s1^4*s4^2+4078080*s1^3*s2^2*s3+14729216*s1^3*s2*s3*s4+3065856*s1^3*s3^3+2711552*s1^2*s2^4+13959168*s1^2*s2^3*s4+32139264*s1^2*s2^2*s3^2+18874368*s1*s2^4*s3+737280*s2^6+466944*s1^3*s3*s4-2406400*s1^2*s2^2*s4-1338368*s1^2*s2*s3^2+589824*s1^2*s2*s4^2-1720320*s1^2*s3^2*s4-3381248*s1*s2^3*s3-20840448*s1*s2^2*s3*s4-8724480*s1*s2*s3^3-675840*s2^5-3538944*s2^4*s4-14450688*s2^3*s3^2-1056768*s1^2*s4^2-696320*s1*s2*s3*s4+153600*s1*s3^3-4718592*s1*s3*s4^2+1671168*s2^3*s4+1378304*s2^2*s3^2+1310720*s2^2*s4^2+6422528*s2*s3^2*s4+1052672*s3^4+2031616*s2*s4^2-466944*s3^2*s4+4194304*s4^3)*t^8+(3420*s1^14-62832*s1^12*s2+1324*s1^12+77088*s1^11*s3+468288*s1^10*s2^2-21184*s1^10*s2-27264*s1^10*s4-1095552*s1^9*s2*s3-1798656*s1^8*s2^3+14816*s1^9*s3+136288*s1^8*s2^2+359424*s1^8*s2*s4+623232*s1^8*s3^2+5927424*s1^7*s2^2*s3+3710976*s1^6*s2^4+1920*s1^8*s4-178432*s1^7*s2*s3-460800*s1^7*s3*s4-444928*s1^6*s2^3-1738752*s1^6*s2^2*s4-6257664*s1^6*s2*s3^2-14923776*s1^5*s2^3*s3-3821568*s1^4*s2^5-20480*s1^6*s2*s4+60672*s1^6*s3^2+795648*s1^5*s2^2*s3+4202496*s1^5*s2*s3*s4+2174976*s1^5*s3^3+757248*s1^4*s2^4+3637248*s1^4*s2^3*s4+21092352*s1^4*s2^2*s3^2+16711680*s1^3*s2^4*s3+1474560*s1^2*s2^6+104448*s1^5*s3*s4+47104*s1^4*s2^2*s4-520192*s1^4*s2*s3^2-2138112*s1^4*s3^2*s4-1542144*s1^3*s2^3*s3-12189696*s1^3*s2^2*s3*s4-12926976*s1^3*s2*s3^3-602112*s1^2*s2^5-2752512*s1^2*s2^4*s4-25559040*s1^2*s2^3*s3^2-5898240*s1*s2^5*s3-147456*s1^4*s4^2-598016*s1^3*s2*s3*s4+116736*s1^3*s3^3+49152*s1^2*s2^3*s4+1370112*s1^2*s2^2*s3^2+10616832*s1^2*s2*s3^2*s4+2973696*s1^2*s3^4+1081344*s1*s2^4*s3+11010048*s1*s2^3*s3*s4+18087936*s1*s2^2*s3^3+147456*s2^6+5898240*s2^4*s3^2+786432*s1^2*s2*s4^2-73728*s1^2*s3^2*s4+983040*s1*s2^2*s3*s4-442368*s1*s2*s3^3-1572864*s1*s3^3*s4-196608*s2^4*s4-1032192*s2^3*s3^2-11010048*s2^2*s3^2*s4-6488064*s2*s3^4+786432*s1*s3*s4^2-1310720*s2^2*s4^2-327680*s2*s3^2*s4+262144*s3^4-1048576*s4^3)*t^4+(-1414656*s1^3+3081216*s1*s2-331776*s3)*t^26+2359296*s2^2*s3^4+1769472*s1^5*s2^4*s3-497664*s1*t^30+(-197320*s1^9+2141040*s1^7*s2-119784*s1^7-1694304*s1^6*s3-8278208*s1^5*s2^2+912112*s1^5*s2+1816320*s1^5*s4+11044352*s1^4*s2*s3+13271296*s1^3*s2^3-711328*s1^4*s3-2117632*s1^3*s2^2-9982976*s1^3*s2*s4-4196352*s1^3*s3^2-19668480*s1^2*s2^2*s3-7269376*s1*s2^4+796672*s1^3*s4+2337792*s1^2*s2*s3+7845888*s1^2*s3*s4+1481472*s1*s2^3+12419072*s1*s2^2*s4+8937472*s1*s2*s3^2+7761920*s2^3*s3-1776640*s1*s2*s4+19456*s1*s3^2-1523712*s1*s4^2-1537536*s2^2*s3-12697600*s2*s3*s4+237568*s3^3+14336*s3*s4)*t^14+2592*s1^13*s3-414720*s1^8*s2*s3^2+(-67512*s1^11+919088*s1^9*s2-58400*s1^9-924000*s1^8*s3-4755008*s1^7*s2^2+612960*s1^7*s2+863232*s1^7*s4+8576512*s1^6*s2*s3+11480320*s1^5*s2^3-401472*s1^6*s3-2306176*s1^5*s2^2-7143424*s1^5*s2*s4-3474176*s1^5*s3^2-26649088*s1^4*s2^2*s3-12522496*s1^3*s2^4+434688*s1^5*s4+2484736*s1^4*s2*s3+5472256*s1^4*s3*s4+3655424*s1^3*s2^3+18702336*s1^3*s2^2*s4+17542144*s1^3*s2*s3^2+30289920*s1^2*s2^3*s3+4571136*s1*s2^5-2117632*s1^3*s2*s4-230400*s1^3*s3^2-770048*s1^3*s4^2-4649472*s1^2*s2^2*s3-22904832*s1^2*s2*s3*s4-2062336*s1^2*s3^3-2014208*s1*s2^4-15466496*s1*s2^3*s4-21323776*s1*s2^2*s3^2-7520256*s2^4*s3-319488*s1^2*s3*s4+2695168*s1*s2^2*s4+791552*s1*s2*s3^2+1310720*s1*s2*s4^2-851968*s1*s3^2*s4+2252800*s2^3*s3+22675456*s2^2*s3*s4+4046848*s2*s3^3+737280*s1*s4^2-229376*s2*s3*s4-169984*s3^3+4456448*s3*s4^2)*t^10+4718592*s1^3*s2^2*s3^3+(118620*s1^10-1459536*s1^8*s2+95700*s1^8+1363296*s1^7*s3+6645184*s1^6*s2^2-860960*s1^6*s2-1370496*s1^6*s4-10742400*s1^5*s2*s3-13536768*s1^4*s2^3+597600*s1^5*s3+2600672*s1^4*s2^2+9274368*s1^4*s2*s4+4334976*s1^4*s3^2+26156544*s1^3*s2^2*s3+11554816*s1^2*s2^4-739968*s1^4*s4-2723584*s1^3*s2*s3-6825984*s1^3*s3*s4-2941696*s1^2*s2^3-17463296*s1^2*s2^2*s4-15950848*s1^2*s2*s3^2-19400704*s1*s2^3*s3-2715648*s2^5+2766848*s1^2*s2*s4+86272*s1^2*s3^2+2088960*s1^2*s4^2+3043840*s1*s2^2*s3+15540224*s1*s2*s3*s4+491520*s1*s3^3+827904*s2^4+7569408*s2^3*s4+12126208*s2^2*s3^2+182272*s1*s3*s4-2330624*s2^2*s4-226304*s2*s3^2-3604480*s2*s4^2+1499136*s3^2*s4-253952*s4^2)*t^12+31104*s1^10*s3^2-71424*s1^10*s2^3-1050624*s1^7*s2^3*s3-258048*s1^6*s2^5+3538944*s1^2*s2^4*s3^2=0

其中：
$s1 = a^2+b^2+c^2+d^2$,
$s2 = a^2*b^2+a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2+c^2*d^2$,
$s3 = a^2*b^2*c^2+a^2*b^2*d^2+a^2*c^2*d^2+b^2*c^2*d^2$,
$s4 = a^2*b^2*c^2*d^2$

代入$a=sqrt(6)/4, b=sqrt(6)/4,c=sqrt(6)/4,d=sqrt(6)/4$得到：
$s1=3/2, s2=27/32, s3=27/128, s4=81/4096$
$729*t^22*(t-1)*(t+1)*(4*t^2-3)^4=0$

mathe

23#矩阵行列式展开有两个零根，也就是真正解在余下根中，满足方程：

$3*X^2 - 2(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)*X + 3*(a^4+b^4+c^4+d^4) -2(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)=0$

mathe

上面二次方程f(X)=0如果有非零根,那么必然抛物线最低点取值不大于零，也就是我们得出一个必要条件$f({a^2+b^2+c^2+d^2}/3)<=0$
得出$a^4+b^4+c^4+d^4<=a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2$

数学星空

对于空间中有一点“P”，从P放射出四条线段 $PA,PB,PC,PD$ 。
已知$PA= a,PB=b,PC=c,PD=d$为定值，是否一定存在某种情形，使四面体ABCD：
(2)各表面积彼此相等？

则可参考
四面体四面面积相等则皆为全等三角形吗？
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 09&fromuid=1455
(出处: 数学研发论坛)

此时设四面体各棱长($AB=CD=x,AC=BD=y,BC=AD=z$)
sqrt(-2*a^4*x^2+2*a^2*b^2*x^2+2*a^2*b^2*y^2-2*a^2*b^2*z^2+2*a^2*c^2*x^2-2*a^2*c^2*y^2+2*a^2*c^2*z^2-2*a^2*x^4+2*a^2*x^2*y^2+2*a^2*x^2*z^2-2*b^4*y^2-
2*b^2*c^2*x^2+2*b^2*c^2*y^2+2*b^2*c^2*z^2+2*b^2*x^2*y^2-2*b^2*y^4+2*b^2*y^2*z^2-2*c^4*z^2+2*c^2*x^2*z^2+2*c^2*y^2*z^2-2*c^2*z^4-2*x^2*y^2*z^2)+
sqrt(-2*a^4*y^2+2*a^2*b^2*x^2+2*a^2*b^2*y^2-2*a^2*b^2*z^2-2*a^2*d^2*x^2+2*a^2*d^2*y^2+2*a^2*d^2*z^2+2*a^2*x^2*y^2-2*a^2*y^4+2*a^2*y^2*z^2-2*b^4*x^2+
2*b^2*d^2*x^2-2*b^2*d^2*y^2+2*b^2*d^2*z^2-2*b^2*x^4+2*b^2*x^2*y^2+2*b^2*x^2*z^2-2*d^4*z^2+2*d^2*x^2*z^2+2*d^2*y^2*z^2-2*d^2*z^4-2*x^2*y^2*z^2)+
sqrt(-2*a^4*z^2+2*a^2*c^2*x^2-2*a^2*c^2*y^2+2*a^2*c^2*z^2-2*a^2*d^2*x^2+2*a^2*d^2*y^2+2*a^2*d^2*z^2+2*a^2*x^2*z^2+2*a^2*y^2*z^2-2*a^2*z^4-2*c^4*x^2+
2*c^2*d^2*x^2+2*c^2*d^2*y^2-2*c^2*d^2*z^2-2*c^2*x^4+2*c^2*x^2*y^2+2*c^2*x^2*z^2-2*d^4*y^2+2*d^2*x^2*y^2-2*d^2*y^4+2*d^2*y^2*z^2-2*x^2*y^2*z^2)+
sqrt(-2*b^4*z^2-2*b^2*c^2*x^2+2*b^2*c^2*y^2+2*b^2*c^2*z^2+2*b^2*d^2*x^2-2*b^2*d^2*y^2+2*b^2*d^2*z^2+2*b^2*x^2*z^2+2*b^2*y^2*z^2-2*b^2*z^4-2*c^4*y^2+
2*c^2*d^2*x^2+2*c^2*d^2*y^2-2*c^2*d^2*z^2+2*c^2*x^2*y^2-2*c^2*y^4+2*c^2*y^2*z^2-2*d^4*x^2-2*d^2*x^4+2*d^2*x^2*y^2+2*d^2*x^2*z^2-2*x^2*y^2*z^2)
=2*sqrt(-a^6+a^4*b^2+a^4*c^2+a^2*b^4-2*a^2*b^2*c^2+a^2*c^4-b^6+b^4*c^2+b^2*c^4-c^6)

看来还需使用找到另外方法来计算？

mathe

mathe 发表于 2013-11-30 14:16
上面二次方程f(X)=0如果有非零根,那么必然抛物线最低点取值不大于零，也就是我们得出一个必要条件$f({a^2+b ...})$

另外假设$a^2<=b^2<=c^2<=d^2$,那么根据三角不等式，求得的X还得满足$|d|-|a|<sqrt(X)<|a|+|b|$

mathe

另外，我们现在可以知道解可以不唯一。我们非常容易可以看出，如果得到解X满足28#条件，必然可以构造出对应的图形（一堆三角形拼凑即可）
现在取$|a|=|b|=|c|=1,|d|=1.1$,得出$X=0.01580155191553660278410696705$或$X=2.790865114751130063882559700$
对应边长为0.1257042239367341338510008909或1.670588254104263138160340764,都满足条件

mathe

另外如果选择a=b=c=1,d=1.4可以得出边长两个解为0.4489644291937118728635385485, 2.182346380698513722646921864显然这时只有一个符合条件。
而如果选择a=b=c=1,d=1.5可以得出边长候选解为0.4725280473673012027863833951, 2.366069051306143611374253944，这时两个解都不符合条件。
所以最终判断是否有解，一个解还是两个解还是有点复杂的。