关于三角形或四面体，我也提一个问题。。。

gxqcn

两年前，数学星空 曾发了一个帖子：[原创] 三角形中的最值问题，
前不久，蓉依山爸 又发了一个帖子：20多年了，我无力解出来的一道高中奥数题！

它们都比较有难度。

今天，我自己突然联想到之前的 [原创] 均分田地，田埂最短问题 ，
提出下列问题：

已知平面上有三个动点 $A,B,C$ 及一个定点 $P$，且满足 $PA=x,PB=y,PC=z$。对于任意组合$x,y,z$，
(1)是否一定存在 $A,B,C$，使 $\DeltaABC$ 为正三角形？
(2)是否一定存在 $A,B,C$，使 $S_{\DeltaAPB}=S_{\DeltaBPC}=S_{\DeltaCPA}$？

空间中有一点“P”，从P放射出四条线段 PA、PB、PC、PD 。
已知 $PA=a,PB=b,PC=c,PD=d$ 为定值，是否一定存在某种情形，使四面体ABCD：
(1)各棱彼此相等（即为正四面体）？
(2)各表面积彼此相等？
(3)以各表面为底、点P为顶点的四个小三棱锥体积彼此相等？

与上面两位高手提问要求取极值不同，我的问题偏重于获得等值的可能性及条件，
问题刚刚提出，我本人并未细细思考，也许会很简单，也许会很难。。。

gxqcn

对于平面情形，当 $x<=y<z/3$ 时，$c<=x+y<z-x<=b$，故 $\DeltaABC$ 不可能为正三角形。
此仅为否定结论的充分条件。

类似的，立体情形，当 $a<=b<=c<d/3$ 时，四面体ABCD也不可能为正四面体。

gxqcn

考察平面情形，是否一定存在三个小三角形面积一定相等的情形。
假设 $x=y$，必有 $PZ_|_AB$，假设垂足为 H，令 $/_APH=\alpha$，
若 $S_{\DeltaAPB}=S_{\DeltaCPA}$，则 $PC=2PH$，即 $z=2xsin\alpha$
若此时 z>2x，则 $z=2xsin\alpha$ 不可能成立。
所以我们可以找到一个反例：当 $x=y<z/2$时，无法满足 $S_{\DeltaAPB}=S_{\DeltaBPC}=S_{\DeltaCPA}$。

立体情形应该会有类似结论。

gxqcn

最后，来考察是否存在一定等分小棱锥的问题。

当 $a=b=c<d/4$ 时，$PD_|_ABC$，$V_{PABC}<(S_{\DeltaABC}*a)/3<((S_{\DeltaABC}*d)/3)/4<V_{ABCD}/4$
此时，显然不可体积等分。

余下的问题是：当存在可相等的条件时，如何获取相等的情形？

mathe

三个部分面积相等就是P是重心，于是可以做出以PA,PB,PC为边长的三角形，这应该是充分必要条件

gxqcn

设 $\DeltaABC$ 三边分别为 $a,b,c$，对应的三条中线分别为 $m_a,m_b,m_c$，
有中线长公式，$m_a=1/2\sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)$，
其它类似（轮换一下），联立解方程组，可解得：$a=2/3\sqrt(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)$，
这与上面的中线长公式是何其相似！如何解读？

gxqcn

这个结论的证明从百度搜到的，为方便大家，将图片和大致证明过程搬过来：


过F作FH//AD，且取FH=AD，交BE于K。连接BH、CH、HD、ED。显然AFHD为平行四边形。

在⊿AFD和⊿FBH中，AF=FB（中点），AD=FH（作取），∠DAF=∠HFB（同位角）。所以⊿AFD≌⊿FBH，则有FD=BH且FD//BH（显然FDHB为平行四边形）

又FD=1/2AC=EC且FD//AC（中位线）。所以BH=EC且BH//EC，即BHCE为平行四边形，则有BE=HC

在⊿FHC中，CF为⊿ABC边AB上的中线，FH=AD为⊿ABC边BC上的中线，HC=BE为⊿ABC边CA上的中线，所以三角形的三条中线可构成一个三角形。

hujunhua

关于是否存在正三角形的问题，将变量归一化有助于简化表达。
归一化的标准可以不同，比如选择$x+y+z=constant$或者$x^2+y^2+z^2=constant$都是可以的，我的选择是使得目标三角形的边长为1.
将目标三角形的边长归一化后，符合要求的{x,y,z}应满足如下约束：
$Arc cos({x^2+y^2-1}/{2xy})+Arc cos({y^2+z^2-1}/{2yz})+Arc cos({z^2+x^2-1}/{2zx})=2\pi$
这是一个三维曲面，利用Mathematica可以画出这个约束曲面：


Mathematica并不擅长画这样的曲面，或者我是学技不精，不擅长使用。Wayne, Keyto9_Fans或许可以用Surfer画出更漂亮的图来

hujunhua

我对于Mathematica画的图的边缘上为什么会有锯齿很不理解，应该没有锯齿。右图上边缘曲线应该是
$x+y=1, z=sqrt{x^2-x+1},(0<x<1,0<y<1)$
的一条完整、光滑的曲线段。

zeus