关于三角形或四面体，我也提一个问题。。。

数学星空

mathe 发表于 2013-11-30 14:52
另外，我们现在可以知道解可以不唯一。我们非常容易可以看出，如果得到解X满足28#条件，必然可以构造出对应 ...

我将a=1,b=1,c=1,d=1.1代入24#方程得到
10000.+186624*t^32-16300.*t^2-2.09516544*10^6*t^30+9.39471368*10^6*t^28-2.109175109*10^7*t^26+2.38854093*10^7*t^24-1.129111285*10^7*t^22+5.71931*10^5*t^20+28700.*t^4-14500.*t^6-7443.*t^14+1350.*t^12-1770.*t^10+22210.*t^16-33603.*t^18-2410.*t^8＝0
即正实根为t1=0.775991333659762359873649533065,t2=1.67062793206937632398343885992

我将a=1,b=1,c=1,d=1.4代入24#方程得到
186624*t^32+36000.*t^2-2.46841344*10^6*t^30+1.348452680*10^7*t^28-3.919296961*10^7*t^26+6.51313649*10^7*t^24-6.23322421*10^7*t^22+3.4252152*10^7*t^20-3.*10^5-11000.*t^4-3.606*10^5*t^6-4.22960*10^6*t^14+2.78488*10^6*t^12-1.1194*10^6*t^10+5.47207*10^6*t^16-1.2541659*10^7*t^18+3.448*10^5*t^8=0
得到一个正实根：t=1.73394163190596370770592917717

我将a=1,b=1,c=1,d=1.5代入24#方程得到
186624*t^32+2.11*10^5*t^2-2.61273600*10^6*t^30+1.538116800*10^7*t^28-4.955666400*10^7*t^26+9.55526314*10^7*t^24-1.141361253*10^8*t^22+8.6443564*10^7*t^20+3.72*10^5*t^4-8.18*10^5*t^6-1.956438*10^7*t^14+1.66194*10^7*t^12-9.6448*10^6*t^10+2.357687*10^7*t^16-4.5218250*10^7*t^18+3.4853*10^6*t^8-1.4*10^6=0
得到一个正实根：t=1.73317565040238265662485595229

mathe

a=b=c=1时有个很特殊的解非常容易验证，d=sqrt(1-t^2/3)+t*sqrt(6)/3

mathe

好像我们都算错了

mathe

原来Pari/gp代码写错了一个地方，现在算1,1,1,1.4和1,1,1,1.5都两解:
(16:00) gp > fun(1,1,1,1.4)
0.5543111555436266555077963864
1.731879271054006236143002083
(16:00) gp > fun(1,1,1,1.5)
0.7247448713915890490986420374
1.724744871391589049098642037
(16:01) gp > fun(1,1,1,1.6)
0.9234236863818264083818440753
1.689365372586896896361925604
(16:01) gp > fun(1,1,1,1.3)
0.4006379684860768731140103110
1.722253141926010811990302554
(16:01) gp > fun(1,1,1.1,1.3)
0.3677979488695334191934416129
1.769573772261001484613130117
(16:01) gp > fun(1,1,1.1,1.7)
1.071703486322123402737943326
1.708250070707351946073587689
(16:01) gp > fun(1,1,1.1,1.8)
(16:01) gp > fun(1,1,1.1,1.75)
1.220203525710360012137920238
1.640966185669489491660174892

zeus

事实上，由之前的回复易知 ，只不过在那儿，有一点计算上的失误.

zeus

对于各面积相等的问题，得如下方程组

wayne

hujunhua 发表于 2013-11-29 18:52
我对于Mathematica画的图的边缘上为什么会有锯齿很不理解，应该没有锯齿。右图上边缘曲线应该是

的一条 ...

我也不甚清楚,隐函数做图 一直以来都不那么 容易.  更何况是 超越函数.
这里的锯齿 或许是一种画图效率的折中?
===
不过,很奇怪, 如果把画图范围缩小一点,确实 是 光滑的曲线段的

mathe

mathe 发表于 2013-11-30 14:16
上面二次方程f(X)=0如果有非零根,那么必然抛物线最低点取值不大于零，也就是我们得出一个必要条件$f({a^2+b ...

选择了一些数据进行数值计算，好像表明$a^4+b^4+c^4+d^4<=a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2$就已经是充要条件了
也即是说两根必然都满足三角形的条件

mathe

根据23# $ab={a^2+b^2-X}/2$,为了$a,b,sqrt(X)$能够构成三角形，只要保证$0<X<2(a^2+b^2)$即可，也就是a,b两向量余弦值在-1和1之间。
另外根据25#方程，显然X两个根都在0和${2(a^2+b^2+c^2+d^2)}/3$之间。只要证明${2(a^2+b^2+c^2+d^2)}/3<2(a^2+b^2)$即可
也就是$c^2+d^2<2(a^2+b^2)$,这个用反证法容易用26#不等式得出。
所以我们证明了只要满足26#的不等式即可

mathe

上面证明有误，有可能光简单的计算是不够的