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[悬赏] 证明欧拉数的一个性质

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发表于 2014-5-12 10:49:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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证明欧拉数En
(1)当n为奇数时,En的个位为1;
(2)当n为偶数时,En的个位为5.
悬赏十个金币。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-3-25 10:50:12 | 显示全部楼层
递推公式
QQ截图20160325105007.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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 楼主| 发表于 2018-1-16 18:17:09 | 显示全部楼层

不见证明呀!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-16 19:09:02 | 显示全部楼层
如果用2楼的记号系统,楼主的问题可表述为\[\begin{cases}|E_{4k+2}|&\equiv 1\pmod{10}\\E_{4k}&\equiv 5\pmod{10}\end{cases}\;(k=1,2,3,\cdots)\]不过初始条件 `E_0=1` 要被排除在外。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-1-16 19:27:00 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-1-16 19:09
如果用2楼的记号系统,楼主的问题可表述为\[\begin{cases}|E_{4k+2}|&\equiv 1\pmod{10}\\E_{4k}&\equiv 5\ ...

如何证明之?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-17 20:07:34 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-1-17 21:25:03 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-1-17 20:07
【1】https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-015-9677-9?no-access=true

【2】https://www. ...

如何证明以上恒等同余式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-18 00:52:56 | 显示全部楼层
zuijianqiugen 发表于 2018-1-17 21:25
如何证明以上恒等同余式

链接里有,mod 60包含了mod 10,有点长,你自己看看。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-18 12:13:07 | 显示全部楼层
6楼的文献2中第4部分给出了欧拉数 `E_n` 关于任意正整数模 `m` 的一般的算法步骤。
比如 `m=10`:
步骤1. 对模进行素数幂分解 `m=10=2\*5`,这里的素数按模4余1和余3进行分类。
步骤2. 求 `M` 和 `N`. `M` 是上述奇素数幂的数论欧拉函数值与偶素数幂的最小公倍数:`M=\mathrm{lcm}\{2,\varphi(5)\}=\{2,4\}=4`
`N` 是这些奇素数幂的指数的最大值: `N=1`.
步骤3. 根据 `M` 的值得到 `E_{4n}\equiv 1\pmod{2}`. 考虑到 `5\equiv 1\pmod{4}`,故有 `E_{4n}\equiv 0\pmod{5}`.
步骤4. 联立上述同余式,根据中国剩余定理(孙子定理)求出 `E_{4n}\equiv 5\pmod{10}`. 经检验 `N < 2 < N+M-2` 且 `2\not \equiv 0\pmod{M}`,故有 `E_{4n+2}\equiv E_2\equiv -1\pmod{10}`. 这便得到4楼的结论。

作者利用了伯努利数与欧拉数相关的恒等式,以及伯努利数的一些素数幂模的性质关系证明了上述一般结论。
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 楼主| 发表于 2018-1-18 14:09:43 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-1-18 00:52
链接里有,mod 60包含了mod 10,有点长,你自己看看。

链接里是英文,看不明白。
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