证明欧拉数的一个性质

zuijianqiugen

证明欧拉数E_n：
（1）当n为奇数时，E_n的个位为1；
（2）当n为偶数时，E_n的个位为5.
悬赏十个金币。

lsr314

递推公式

zuijianqiugen

lsr314 发表于 2016-3-25 10:50
递推公式

不见证明呀！

kastin

如果用2楼的记号系统，楼主的问题可表述为\[\begin{cases}|E_{4k+2}|&\equiv 1\pmod{10}\\E_{4k}&\equiv 5\pmod{10}\end{cases}\;(k=1,2,3,\cdots)\]不过初始条件 `E_0=1` 要被排除在外。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2018-1-16 19:09
如果用2楼的记号系统，楼主的问题可表述为\[\begin{cases}|E_{4k+2}|&\equiv 1\pmod{10}\\E_{4k}&\equiv 5\ ...

如何证明之？

lsr314

【1】https://link.springer.com/articl ... 77-9?no-access=true

【2】https://www.fq.math.ca/Papers1/42-2/quartchenkwang02_2004.pdf

zuijianqiugen

lsr314 发表于 2018-1-17 20:07
【1】https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-015-9677-9?no-access=true

【2】https://www. ...

如何证明以上恒等同余式

lsr314

zuijianqiugen 发表于 2018-1-17 21:25
如何证明以上恒等同余式

链接里有，mod 60包含了mod 10，有点长，你自己看看。

kastin

6楼的文献2中第4部分给出了欧拉数 `E_n` 关于任意正整数模 `m` 的一般的算法步骤。
比如 `m=10`:
步骤1. 对模进行素数幂分解 `m=10=2\*5`，这里的素数按模4余1和余3进行分类。
步骤2. 求 `M` 和 `N`. `M` 是上述奇素数幂的数论欧拉函数值与偶素数幂的最小公倍数：`M=\mathrm{lcm}\{2,\varphi(5)\}=\{2,4\}=4`
`N` 是这些奇素数幂的指数的最大值： `N=1`.
步骤3. 根据 `M` 的值得到 `E_{4n}\equiv 1\pmod{2}`. 考虑到 `5\equiv 1\pmod{4}`，故有 `E_{4n}\equiv 0\pmod{5}`.
步骤4. 联立上述同余式，根据中国剩余定理（孙子定理）求出 `E_{4n}\equiv 5\pmod{10}`. 经检验 `N < 2 < N+M-2` 且 `2\not \equiv 0\pmod{M}`，故有 `E_{4n+2}\equiv E_2\equiv -1\pmod{10}`. 这便得到4楼的结论。

作者利用了伯努利数与欧拉数相关的恒等式，以及伯努利数的一些素数幂模的性质关系证明了上述一般结论。

zuijianqiugen

lsr314 发表于 2018-1-18 00:52
链接里有，mod 60包含了mod 10，有点长，你自己看看。

链接里是英文，看不明白。