步长随机的行走问题

mathe

实际计算结果挺有意思,对于前五项,都有$V(x)=U(x)+1$,看来这个结果应该式永远成立了.
下面给出用WxMaxima计算出来的前五项结果:

mathe

最终结果为:

也就是
n=1,结果为$e$,
n=2,结果为$e^2-e$,
n=3,结果为$e^3-2e^2+e/2$
n=4,结果为$e^4-3e^3+2e^2-e/6$,
n=5,结果为$e^5-4e^4+9/2e^3-4/3e^2+e/24$

无心人

能得到通项么？

mathe

再次计算到n=10

并且计算出前10项近似数字结果分别为:
n=1, r1=2.718281828459045
n=2, r2=4.670774270471606
n=3, r3=6.666565639555889
n=4, r4=8.666604490032691
n=5, r5=10.66666206862241
n=6, r6=12.66666714137803
n=7, r7=14.66666678152219
n=8, r8=16.66666667042781
n=9, r9=18.66666666526821
n=10,r10=20.66666666646956
结果验证了百度贴吧中KeyTo9のFans的猜测,第n项结果趋向$2n+2/3$

mathe

原帖由 无心人 于 2008-9-8 10:56 发表
能得到通项么？

至少现在我得不出通项.
不过现在的计算过程效率已经非常高了.我上面借助WxMaxima手工输入都可以计算到第10项了.
计算复杂度应该在O(n^3)左右,已经很不错了,其实有没有通项都没有区别.只是计算极限行为可能还有些问题

无心人

呵呵
确实趋向2n + 2 / 3
我计算1000的已经验证

mathe

没想到，最终结果非常有规律。下面结论我只是根据前面10项结果归纳出来的结论，并没有证明。但是给出结论以后，我想证明不会很难，应该用数学归纳法就可以了。
首先我们看到最终结果可以表示成一个关于e的n次多项式，而多项式所有系数都是正负交叉的。
其次，我们非常看到最低项系数的绝对值式$1/{(n-1)!}$,而倒数第二项系数绝对值是${2^{n-2}}/{(n-2)!}$,倒数第三项系数绝对值是${3^{n-3}}/{(n-3)!}$等等，于是我们得到一个归纳的结论
$r_n = \sum_{i=1}^{n} {(-i)^{n-i}e^i}/{(n-i)!}$

gxqcn

多么简洁而美丽的结论啊，
它离事实的真相肯定不远了，
因为数学本身是门偏爱美学的艺术。

gxqcn

mathe 换头像和签名了？

刚才 Google 了一下“0.54364331210052407755147385529445”，
全是指向楼主的，所以可命名为“mathe 常数”

无心人

老大有点迟钝了
呵呵
肚子换签名很长时间了