步长随机的行走问题

mathe

E(s)=2s+2/3+\sum_{k=1}^{\infty}2(\frac{\sinb_k}{b_k})^s \Re \frac{e^{i s b_k}}{1-\frac{b_k}{\sin b_k}e^{-i b_k}},这里的b_k是方程\frac{x}{\tan x}+\ln\frac{\sin x}{x}=1的第k个正根。
Buffalo 发表于 2009-6-22 13:00

利用56#的结果试着用Pari/Gp计算了一下,可以结果同我前面的http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... ;fromuid=20#pid9476 的不匹配.也就是说,公式应该是错误的.

1. 
   
2. rr(k)=
   
3. {
   
4.    solve(x=2*k*Pi+0.00000001,(2*k+0.5)*Pi-0.0000000001,x/tan(x)+log(sin(x)/x)-1.0)
   
5. }
   
6. 
   
7. get_roots()=
   
8. {
   
9.     local(m);
   
10.     m=vector(100);
    
11.     for(u=1,100,m[u]=rr(u));
    
12.     m
    
13. }
    
14. uu(b,s)=
    
15. {
    
16.     2*(sin(b)/b)^s*(cos(s*b)-b/sin(b)*cos(b+s*b))/((1+(b/sin(b))^2)-2*b*cos(b)/sin(b))
    
17. }
    
18. 
    
19. get_sum(x,t)=
    
20. {
    
21.     local(s);
    
22.     s=2*t+2.0/3.0;
    
23.     for(u=1,100,
    
24.         s+=uu(x[u],t)
    
25.     );
    
26.     s
    
27. }
    
28. 
    
29. list_u()=
    
30. {
    
31.     local(x,y);
    
32.     x=get_roots();
    
33.     y=vector(10);
    
34.     for(u=1,10,
    
35.         y[u]=get_sum(x,u);
    
36.     );
    
37.     y
    
38. }
    

复制代码

%6 = [2.717779058226940366773287667, 4.670774261125104178254149565, 6.6665656399
73812596287232300, 8.666604490032718750525612268, 10.66666206862241123307707308,
12.66666714137812140131379724, 14.66666678152214344981057189, 16.66666667042688
782366234715, 18.66666666527032134895552172, 20.66666666647631880061416309]

mathe

好像是计算精度的问题,计算到一千项好像结果要好一些
%13 = [2.718231205947550153848983691, 4.670774270459126122717905542, 6.666565639
556316686364696724, 8.666604490032695437541096739, 10.66666206862241185801255092
, 12.66666714137812140137193575, 14.66666678152214344980946003, 16.6666666704268
8782366234700, 18.66666666527032134895552172, 20.66666666647631880061416309]

Buffalo

利用56#的结果试着用Pari/Gp计算了一下,可以结果同我前面的http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... ;fromuid=20#pid9476 的不匹配.也就是说,公式应该是错误的.
rr(k)=
{
   solve(x=2*k*Pi+0.0 ...
mathe 发表于 2009-6-23 09:29

公式都抄错了，结果怎么可能正确？
这个公式很明显地快速收敛，不需要很多项就可以得到高精度结果。

mathe

的确是计算精度的问题.在s=1的时候收敛很慢.但是对于比较大的s的确收敛的比较快

Buffalo

的确是计算精度的问题.在s=1的时候收敛很慢.但是对于比较大的s的确收敛的比较快
mathe 发表于 2009-6-23 10:08

嫌收敛速度慢可以用加速收敛公式处理一下，直接加效率是不高。

mathe

很正常,s=1时应该是条件收敛,所以收敛速度很慢.

mathe

嫌收敛速度慢可以用加速收敛公式处理一下，直接加效率是不高。
Buffalo 发表于 2009-6-23 10:12

我只是试验一下.
你用的是哪方面的只是推导的?我感觉应该是我不了解的知识,比如统计方面的

Buffalo

很正常,s=1时应该是条件收敛,所以收敛速度很慢.
mathe 发表于 2009-6-23 10:13

s=1 是绝对收敛，s=0都是绝对收敛到1/2。
粗略估计在第k项截断产生的误差大致在$\frac{1}{(2k\pi)^s$。可以用各种办法提高收敛性 http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceImprovement.html
这个公式对所有的正实数s都适用。

Buffalo

我只是试验一下.
你用的是哪方面的只是推导的?我感觉应该是我不了解的知识,比如统计方面的
mathe 发表于 2009-6-23 10:15

如果你放弃n是整数的要求，再放弃步长在[0，1]内均匀分布的要求，从细节中解脱出来，去进行计算，立刻就该想到用Laplace变换做。

mathe

Laplace变换我的确不熟悉.看了下wolframe网站,
是不是使用
$L_t[f^{(n)}(t)](s)=s^n L_t[f(t)] - s^{n-1}f(0)-s^(n-2)f'(0)-...-f^{(n-1)}(0)$