奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)

gxqcn

一个数是另一个整数的平方并不希奇，
但一个完全平方数可以拆分成两个完全平方数就比较奇特了。如49分成4和9，它们均是某个整数的平方。

下面列举的是前32个（据说10亿以下仅有119个）：

id:A039686   Squares which are the concatenation of two nonzero squares.  

49, 169, 361, 1225, 1444, 1681, 3249, 4225, 4900, 15625, 16900, 36100, 42025, 49729, 64009, 81225, 93025, 122500, 144400, 168100, 225625, 237169, 324900, 422500, 490000, 519841, 819025, 950625, 970225, 1024144, 1442401, 1562500

还有更奇妙的，其中某些数还有更多的拆分组合方式，
如：2225^2 = 4950625，而因4=2^2、950625=975^2，以及49=7^2、50625=225^2，故有两种拆分组合方式。

更甚者，两个拆分的数仍可再被拆分！
如：19025^2=361950625，可拆分成361(=19^2)、950625(975^2)，进一步可：36、1、9、50625(=225^2)；
类似的还有：90125^2=8122515625，最终可拆分成：81、225、1、5625

无心人

立方有没有这个东西存在啊？

-----------------------------------------------
Pell方程链接:
解一般的二次丢番图方程的解的链接:http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
若干种求解这种类型Pell方程的解的方法: http://hometown.aol.com/jpr2718/
本地论文下载: http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... fromuid=20#pid11441

gxqcn

不知道，还没发现。
估计很难找。

无心人

我也觉得是很难找，可能是没有

这么多平方的例子从哪里来的？

medie2005

算平方还是好算.
我们设最末尾的一位是平方数(1,4,9).
不妨以最末尾是1为例.
$a^{2}*10+1=b^2$  (Pell方程)
=>$sqrt{10}~~b/a$
利用连分数,我们可以求解上式.
若前端的平方数较小.即:$a^{2}*10^{k}+b^{2}=c^{2}$,$a$很小.
就说明$b^2 mod 10^k = c^2 mod 10^k$,由于k值相对来说不小,于是,可选择的b,c对还是不多的.

无心人

我觉得这么做效率不高
感觉吧，具体说不上来

无心人

平方数字和那个程序修改下
做这个可能速度也不慢吧
呵呵

gxqcn

原帖由 无心人 于 2008-10-30 20:57 发表
我也觉得是很难找，可能是没有

这么多平方的例子从哪里来的？

后面举例是来自一本科普书，
是今年国庆期间在武昌外文书店看到的，
当时离开车时间还有几个小时，
就带着行李、拽着儿子进去看了一会。

无心人

你老家是那里的？
＝＝＝＝＝＝＝＝
书什么名字？
不错么

gxqcn

老家湖北京山县。

书名叫《数学开心辞典》，王青建 主编，科学出版社，北京，2008年9月