奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)

mathe

首先我们知道k是3的倍数的时候没有非0解，所以仅考虑k不是3的倍数的情况。 这时如果y和z一个数中含有2或5的因子，对应另外一个数也必须含有，我们可以将这些公因子消去，同样对于其他素数公因子也可以消去，最后我们得到一个化简的方程形如: $2^a5^bx^3=z^3-y^3$,其中三个数$y^3,z^3,2^a5^bx^3$两两互素，而且$a-=b!=0(mod 3)$,x不含因子2和5 由于y,z互素，方程左边是偶数，所以必然有y和z都是奇数，所以$y^2+yz+z^2$是奇数. 而且$(z-y,z^2+zy+y^2)=(z-y,3zy)=(z-y,3)$,所以z-y和$z^2+zy+y^2$的公因子是1或3。 如果两者公因子是1，那么u,v都不是3的倍数,那么我们知道只能是一下两种情况: i)${(z-y=2^a*u^3),(z^2+zy+y^2=5^b*v^3):}$ 即$3(z+y)^2=4*5^b*v^3-4^a*u^6$，由于(5,u)=1,两边同时模5得到 $+-3,0-=+-1(mod 5)$矛盾，所以这种情况可以淘汰 ii)${(z-y=2^a5^bu^3),(z^2+zy+y^2=v^3):}$ 即$3(z+y)^2=4v^3-4^a25^bu^6$,两边同时模9 左边模9只能是0或3，而$v^3$模9为$+-1$,$4^a25^b=100^b*64^{{a-b}/3}-=1(mod9),u^6=1(mod9)$ 得到$v^3=(z+y)^2=1(mod 9)$,这里好像还是不行，再看看

mathe

而同样再z-y和$z^2+zy+y^2$公因子是3的时候也分两种情况，同样第一种非常容易淘汰，而第二种比较难淘汰。

无心人

只考虑10， 100就可以了

lykin

不明白是怎么得来的

winxos

我以前参考人家的一篇论文写了个计算根号连分数算法，不知道各位有没其他更高效算法？ 我觉得这个已经很快了。 vector sqrt2Fraction(long n)//计算根号的连分数，返回连分数序列 { vector ret; long sn=sqrt(n); ret.push_back(sn);//返回值的格式为 根号整数部分+连分数部分 if( sn*sn!=n) { long p=0,q=1,a; long bp,bq,ba,bbp,bbq,bba;//,p1,p2,p3; a=sn; bbp = a*q-p; bbq = ( n - bbp*bbp)/q; bba = ( a + bbp)/bbq; ret.push_back(bba); p = bbp; q = bbq; a = bba; while(true) { bp = a*q - p; bq = ( n - bp*bp)/q; ba = ( sn + bp)/bq; p = bp; q = bq; a = ba; if (( a==bba)&&( p==bbp)&&( q==bbq)) break; ret.push_back(ba); } } return ret; }

无心人

我倾向于么有解

282842712474

这样的数我可以找到好多呀，尽管是比较大，但是还是比较好找的

mathabc

楼主对数论感兴趣，数论这个东东听说难死人了。

〇〇

一个数是另一个整数的平方并不希奇， 但一个完全平方数可以分拆成两个完全平方数就比较奇特了。如49分成4和9，它们均是某个整数的平方。 下面列举的是前32个（据说10亿以下仅有119个）： 还有更奇妙的，其中 ... gxqcn 发表于 2008-10-29 20:02

用oracle求得的前207个 ---------------- ------------------------ ------------------------ 49 4 9 169 16 9 361 36 1 1225 1 225 1444 144 4 1681 16 81 3249 324 9 4225 4 225 4900 4 900 15625 1 5625 16900 16 900 36100 36 100 42025 4 2025 49729 49 729 64009 6400 9 81225 81 225 93025 9 3025 122500 1 22500 144400 144 400 168100 16 8100 225625 225 625 237169 23716 9 324900 324 900 422500 4 22500 490000 4 90000 519841 51984 1 819025 81 9025 950625 9 50625 970225 9 70225 1024144 1024 144 1442401 144 2401 1562500 1 562500 1600225 1600 225 1690000 16 90000 1692601 169 2601 2079364 207936 4 2304324 2304 324 3136441 3136 441 3610000 36 10000 4096576 4096 576 4202500 4 202500 4678569 467856 9 4950625 4 950625 4950625 49 50625 4972900 49 72900 5184729 5184 729 5769604 576 9604 5929225 5929 225 6400900 6400 900 8122500 81 22500 9302500 9 302500 9455625 9 455625 9765625 9 765625 12250000 1 2250000 14440000 144 40000 15405625 1 5405625 16810000 16 810000 22562500 225 62500 23716900 23716 900 24019801 2401 9801 32490000 324 90000 36156169 361 56169 42250000 4 2250000 49000000 4 9000000 49632025 49 632025 51984100 51984 100 63504961 63504 961 67650625 676 50625 78411025 784 11025 81902500 81 902500 92294449 9229444 9 92640625 9 2640625 95062500 9 5062500 96138025 961 38025 97022500 9 7022500 102414400 1024 14400 116964225 116964 225 123765625 1 23765625 129618225 1296 18225 144240100 144 240100 144600625 144 600625 152127556 1521 27556 156250000 1 56250000 160022500 1600 22500 169000000 16 9000000 169260100 169 260100 193627225 1936 27225 207936400 207936 400 230432400 2304 32400 270438025 2704 38025 313644100 3136 44100 324540225 324 540225 324900625 324900 625 341991049 34199104 9 360050625 3600 50625 361000000 36 1000000 361950625 361 950625 409657600 4096 57600 420250000 4 20250000 462465025 4624 65025 467856900 467856 900 485100625 4 85100625 495062500 4 95062500 495062500 49 5062500 497290000 49 7290000 518472900 5184 72900 576960400 576 960400 577681225 5776 81225 592922500 5929 22500 624100324 624100 324 640090000 6400 90000 705699225 7056 99225 749609641 74960964 1 812250000 81 2250000 817102225 81 7102225 915849169 915849 169 930250000 9 30250000 945562500 9 45562500 976562500 9 76562500 1024576081 1024 576081 1225000000 1 225000000 1404225729 1404225 729 1444000000 144 4000000 1540562500 1 540562500 1587624025 15876 24025 1681000000 16 81000000 1691265625 169 1265625 1699500625 16 99500625 2256250000 225 6250000 2307361225 2307361 225 2371690000 23716 90000 2401980100 2401 980100 2528178961 25281 78961 2998438564 299843856 4 3132976729 31329 76729 3249000000 324 9000000 3249570025 3249 570025 3615015625 36 15015625 3615616900 361 5616900 3663396676 3663396 676 3844248004 3844 248004 3969252004 3969 252004 4225000000 4 225000000 4900000000 4 900000000 4963202500 49 63202500 4987890625 49 87890625 5198410000 51984 10000 6350496100 63504 96100 6746486769 674648676 9 6765062500 676 5062500 7841102500 784 1102500 8113505625 81 13505625 8122515625 81225 15625 8190250000 81 90250000 8549776225 8549776 225 8649558009 8649 558009 9001265625 900 1265625 9229444900 9229444 900 9264062500 9 264062500 9506250000 9 506250000 9613802500 961 3802500 9702250000 9 702250000 9801990025 9801 990025 10241440000 1024 1440000 11561625625 1156 1625625 11696422500 116964 22500 12127515625 1 2127515625 12152196169 12152196 169 12376562500 1 2376562500 12961822500 1296 1822500 14424010000 144 24010000 14442030625 1444 2030625 14460062500 144 60062500 15212755600 1521 2755600 15376992016 15376 992016 15625000000 1 5625000000 15920130625 159201 30625 16002250000 1600 2250000 16724955625 16 724955625 16900000000 16 900000000 16926010000 169 26010000 17642480625 1764 2480625 19362722500 1936 2722500 20793640000 207936 40000 21162975625 2116 2975625 22467611664 224676 11664 22537515625 225 37515625 23043240000 2304 3240000 24011671849 2401 1671849 24502580089 245025 80089 25003515625 2500 3515625 25614402025 256 14402025 26316950625 263169 50625 27043802500 2704 3802500 29164100625 2916 4100625 30580915876 305809 15876 31364410000 3136 4410000 32454022500 324 54022500 32490062500 324900 62500 33644730625 3364 4730625 34199104900 34199104 900 36005062500 3600 5062500 36100000000 36 100000000 36195062500 361 95062500 38445405625 3844 5405625 39312975625 393129 75625 39942420736 399424 20736 207 rows selected.

huangyh221

$f(x)={(1,(x!=0)),(x^2+1,(x=0)):} $ 我觉得这个公式可以用！\(^o^)/~