奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)

无心人

呵呵
记住了
有时间要买本

http://www.china-pub.com/302107
不贵，内容好不好？

medie2005

呵呵,对于平方数组合,
当第二段平方数$c^2$比较小时,实质是求解丢番图方程:
$x^{2}*10^{k}-y^{2}+c^{2}=0$ ,  $10^{k-1}<=c^2<10^{k}$
当第一段平方数$v^2$比较小时,实质是求解丢番图方程:
$x^{2}-y^{2}+v^{2}*10^{k}=0$,  $10^{k-1}<=x^2<10^{k}$
http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM提供了解决$a x^{2} + b xy + c y^{2} + dx + ey + f = 0$的方法.

medie2005

对第二段平方数较小的情形,只要选定c,我们就可以得到一系列解.
比如,c=1,  那么,
$X_{n+1} = 19* X_{n} + 6* Y_{n}$
$Y_{n+1} = 60* X_{n} + 19*Y_{n}$
$X_{0]=0$
$Y_{0}=1$
比如,
x=6,y=19                                             对应于 361
x=228, y=721                                   对应于 519841
x=8658,y=27379                            对应于 749609641
......

无心人

不是所有解都有效么?

gxqcn

原帖由 无心人 于 2008-10-30 21:59 发表
呵呵
记住了
有时间要买本

http://www.china-pub.com/302107
不贵，内容好不好？

还可以吧。

里面搜罗了一些趣味数学的东西，可以看作是科普性的，有广度但无深度。
我买它只是为了增加一些素材，并开拓一下视野，
以后为培养儿子的数学兴趣作准备。

无心人

有广度就可以了
有深度的东西是
mathe喜欢的东西

medie2005

$x^{2}*10^{k}-y^{2}+c^{2}=0$    （1）
选定c,则k确定。
1、k为偶数。
将（1）式两边同乘以$10^{k}$,得到：
$(10^{k}*x)^{2}-y^{2}*10^{k}+(c*10^{k})^{2}=0$
即：
$y^{2}*10^{k}-(10^{k}*x)^{2}=(c*10^{k})^{2}$
由于k为偶数，因此$y^{2}*10^{k}$和$(10^{k}*x)^{2}$都是平方数。于是，我们只要将$(c*10^{k})^{2}$分解就可以得到x，y的值，于是，我们只需要分解c就可以了。

2、k为奇数。
1）：对$c^{4}<10^{k}$的情形，直接求（1）的解。会得到一个含根式的解。将这个解用连分数展开，就可以得到(1)的解。

2）：对$c^{4}>=10^{k}$的情形。
由于c相对来说比较大，因此，我们必须对(1)进行变换，将常数项缩小。
令$y = s*x - c^{2}*z$。    （2）
代入（1）式，整理，得到：
$((10^{k}-s^{2})/c^{2})*x^{2}+2s*xz-c^{2}*z^{2}=-1$       （3）
因此，$10^{k}-s^{2}=0 mod c^{2}$
即：
$s^{2}=10^{k} mod c^{2}$              
求解上式，得到s的值。
回代s到（3），然后用韦达定理解（3），得到一个含根式的解。再将解用连分数展开，就求得了x,z。代入（2），就得到了y.

mathe

1.部分直接用式子(1):$c^2=(y^2-10^k*x^2)$,右边是平方差,对$c^2$进行因子分解就可以了.要求分解成两个同奇偶的因子,而且其中一个因子不小于$2*10^{k/2}*x$.
2.中1)不需要考虑,因为$c^2>=10^{k-1}$.
此外可以写个程序看看,比如枚举所有c<65536的情况? ,或者比如产生$10^32$以内所有这种数字?

medie2005

c=1，k=1的情况要考虑。当然，这种特殊情况可以用13#的方法来解决。

呵呵，写程序就没兴趣了。哪位有空写写吧。
对c很大的情况，不知mathe有什么好方法没？

mathe

我们有
$(y-c)(y+c)=10^k*x^2$
由于$(y-c,y+c)|2c$
所以我们知道y-c和y+c中,所以不是10c因子的素因子的次数都是偶数.
我想利用这个条件应该可以过滤很多数据.
不过k是偶数的情况还是上面提到的方法更好.但是t是奇数的时候,上面的方法好像用处不大.