奇妙的平方数拆分组合(内含Pell方程链接)

无心人

呵呵 记住了 有时间要买本 http://www.china-pub.com/302107 不贵，内容好不好？

medie2005

呵呵,对于平方数组合, 当第二段平方数$c^2$比较小时,实质是求解丢番图方程: $x^{2}*10^{k}-y^{2}+c^{2}=0$ , $10^{k-1}<=c^2<10^{k}$ 当第一段平方数$v^2$比较小时,实质是求解丢番图方程: $x^{2}-y^{2}+v^{2}*10^{k}=0$, $10^{k-1}<=x^2<10^{k}$ http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM提供了解决$a x^{2} + b xy + c y^{2} + dx + ey + f = 0$的方法.

medie2005

对第二段平方数较小的情形,只要选定c,我们就可以得到一系列解. 比如,c=1, 那么, $X_{n+1} = 19* X_{n} + 6* Y_{n}$ $Y_{n+1} = 60* X_{n} + 19*Y_{n}$ $X_{0]=0$ $Y_{0}=1$ 比如, x=6,y=19 对应于 361 x=228, y=721 对应于 519841 x=8658,y=27379 对应于 749609641 ......

无心人

不是所有解都有效么?

gxqcn

原帖由 无心人 于 2008-10-30 21:59 发表 呵呵 记住了 有时间要买本 http://www.china-pub.com/302107 不贵，内容好不好？

还可以吧。 里面搜罗了一些趣味数学的东西，可以看作是科普性的，有广度但无深度。 我买它只是为了增加一些素材，并开拓一下视野， 以后为培养儿子的数学兴趣作准备。

无心人

有广度就可以了 有深度的东西是 mathe喜欢的东西

medie2005

$x^{2}*10^{k}-y^{2}+c^{2}=0$ （1） 选定c,则k确定。 1、k为偶数。 将（1）式两边同乘以$10^{k}$,得到： $(10^{k}*x)^{2}-y^{2}*10^{k}+(c*10^{k})^{2}=0$ 即： $y^{2}*10^{k}-(10^{k}*x)^{2}=(c*10^{k})^{2}$ 由于k为偶数，因此$y^{2}*10^{k}$和$(10^{k}*x)^{2}$都是平方数。于是，我们只要将$(c*10^{k})^{2}$分解就可以得到x，y的值，于是，我们只需要分解c就可以了。 2、k为奇数。 1）：对$c^{4}<10^{k}$的情形，直接求（1）的解。会得到一个含根式的解。将这个解用连分数展开，就可以得到(1)的解。 2）：对$c^{4}>=10^{k}$的情形。 由于c相对来说比较大，因此，我们必须对(1)进行变换，将常数项缩小。 令$y = s*x - c^{2}*z$。 （2） 代入（1）式，整理，得到： $((10^{k}-s^{2})/c^{2})*x^{2}+2s*xz-c^{2}*z^{2}=-1$ （3） 因此，$10^{k}-s^{2}=0 mod c^{2}$ 即： $s^{2}=10^{k} mod c^{2}$ 求解上式，得到s的值。 回代s到（3），然后用韦达定理解（3），得到一个含根式的解。再将解用连分数展开，就求得了x,z。代入（2），就得到了y.

mathe

1.部分直接用式子(1):$c^2=(y^2-10^k*x^2)$,右边是平方差,对$c^2$进行因子分解就可以了.要求分解成两个同奇偶的因子,而且其中一个因子不小于$2*10^{k/2}*x$. 2.中1)不需要考虑,因为$c^2>=10^{k-1}$. 此外可以写个程序看看,比如枚举所有c<65536的情况? ,或者比如产生$10^32$以内所有这种数字?

medie2005

c=1，k=1的情况要考虑。当然，这种特殊情况可以用13#的方法来解决。 呵呵，写程序就没兴趣了。哪位有空写写吧。 对c很大的情况，不知mathe有什么好方法没？

mathe

我们有 $(y-c)(y+c)=10^k*x^2$ 由于$(y-c,y+c)|2c$ 所以我们知道y-c和y+c中,所以不是10c因子的素因子的次数都是偶数. 我想利用这个条件应该可以过滤很多数据. 不过k是偶数的情况还是上面提到的方法更好.但是t是奇数的时候,上面的方法好像用处不大.