三内切圆问题

hejoseph

给定一个三角形，要在其内作三个等圆，它们两两外切，且分别与三角形一边相切。什么时候圆最大最小？

mathe

三个点的坐标加一个半径，所以有7个变量，但是只有六个约束条件，所以的确应该无穷个解。

可以先作两小圆，分别与两边相切，然后作第三个圆，它暂时不与第三边相切，但可以与第三边相对的顶点为透视中心将三圆投射放大到与三边相切（位似作图法）。

hujunhua

显然，有一边与两圆、一圆与两边同时相切时，至少是局部最大。

hejoseph

最小的估计是这个时候


最大的估计是两圆都切于最长边的时候

hujunhua

从力学模型可知，三条法线共点时最小。
这是个什么特殊点呢，可以尺规作图吗？

hujunhua

通过类似2#的位似作图法，证明是尺规可作的。
可是位似作图法很繁复，应该有简明的作图方法。

mathematica

1楼的图是如何画出来的?

aimisiyou

将此题更进一步，问从一已知三角形中作出三个同半径的圆且满足圆半径最大如何作图？这个最大圆半径r=f(a,b,c)？

aimisiyou

呵呵，感兴趣的是能不能尺规作图做出这个最大圆。

aimisiyou

下面分析下三角形内两个同半径圆的尺规作图问题。已知三角形ABC，角A对应边长为a,角B对应边长为b,角C对应边长为c,现指定一边不妨令为AB，能否用尺规作图作两同半径圆，满足两圆相切且均于AB相切，且分别与邻边相切？根据条件可得\(r=\frac {c}{\root  \of {\frac {(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}} + \root  \of {\frac {(a+c)^2-b^2}{b^2-(a-c)^2}}+2 }\)，故可以尺规作图实现。