三内切圆问题

hejoseph

我得到最大最小的结论就是从内接正三角形推导的，开始作图也是用位似，后来也发现用等力点能简化作图。至于用边长表示半径那个公式我也试过推导，表达式太复杂了，还是作罢了。

hejoseph

另外有一个有点类似的问题，已知道 \(\triangle ABC\)，求一点 \(P\)，使 \(\triangle PAB\)、\(\triangle PAC\)、\(\triangle PBC\) 的内切圆半径相等，这个问题就没尺规作图法了。

hujunhua

mathe 发表于 2017-4-23 18:30
各连线同时达到最短是怎么看出来的？

如下图所示，由于圆内接四边形的对角互补，所以HA'⊥BC、HB'⊥CA、HC'⊥AB必然同时达到。

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@mathe下面补充证明图片中的命题“若△A'B'C'若是△ABC的一个内接正三角形，则三圆⊙AB'C', ⊙BC'A', ⊙CA'B'相交于ABC的第一等力点LH(1,1)”
首先，不论△A'B'C'是否正△，那三个圆总是交于一点H的，
故∠ABH=∠C'A’H，∠ACH=∠B'A'H                   （1）
其次，对于三角形的任意内点H，总有
∠BHC=∠A+∠ABH+∠ACH                                （2）
将(1)代入(2)得
∠BHC=∠A+∠A‘
同理，∠CHA=∠B+∠B‘, ∠AHB=∠C+∠C‘
所以如果△A'B'C'是正三角形，则H正好是LH(1,1).(按定义)。

hujunhua

hejoseph 发表于 2017-4-24 11:16
另外有一个有点类似的问题，已知道 \(\triangle ABC\)，求一点 \(P\)，使 \(\triangle PAB\)、\(\triangle  ...

可以不限于形内，那么将有四个实解，所以关于圆半径的方程至少是4次方程，很可能不能尺规作图。

hujunhua

但是对于等腰三角形，至少有一解可作（底外可作），其它三解就不知道了，得研究一下。如果形内亦可作，则应该全部四解可作。

hejoseph

关于第一等力点，还有个相关问题：已知 \(\triangle ABC\)，在其内部求一点 \(P\)，使 \(\triangle PEF\)、\(\triangle PGH\)、\(\triangle PID\) 是边长相等的正三角形，且点 \(D\)、\(E\) 在 \(BC\) 上，点 \(F\)、\(G\) 在 \(AC\) 上，点 \(H\)、\(I\) 在 \(AB\) 上。
点 \(P\) 就是 \(\triangle ABC\) 的第一等力点。

mathe

mathe 发表于 2017-4-23 19:25
http://www.docin.com/touch/detail.do?id=118984369
不知道这个链接内容是否正确

这个链接中选择角C最大，其实应该选择A最大，B最小，于是可以知道$\phi$是常数而且$0<\phi<={\pi}/6$，
$\phi<B/2$。
而对于变量$\alpha$，有$0<=\alpha<=\pi-B$
题目记$K=1/2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt(3)\Delta$,然后有正三角形边长为
${2\Delta}/{\sqrt{K}\sin(\alpha+\phi)}$
于是最小值${2\Delta}/{\sqrt{K}}$,最大值${2\Delta}/{\sqrt{K}\sin(\alpha)}$,其中最大值在$\alpha=0$时也就是正三角形一边在三角形最大边BC上时取到

hujunhua

hujunhua 发表于 2017-4-24 12:23
但是对于等腰三角形，至少有一解可作（底外可作），其它三解就不知道了，得研究一下。如果形内亦可作，则应 ...

看错了。即便对于等腰三角形，四解之中亦没有一个解尺规可作。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2017-4-23 16:37
很好的简化！
又见三角形的内接正三角形，使我想起了三角形的等力点LH(1,1), 即@mathe楼上所说的那个 ...

找到了等力点，怎么做出三个两两相切的圆呢？

iseemu2009

条件限定三个等圆在三角形内部时，圆的最大半径在下面条件时成立：一个圆与最大的角两边相切，且最短的边上有两个圆与该边相切，剩下的一个圆与最大角的对边相切，最大半径有简单的精确公式表达式。  三个等圆的最小半径也有较为简单的精确表达式，此时三个等圆圆心形成的等边三角形的中心与原三角形内切圆的圆心十分接近。