三内切圆问题

mathe

给定三角形直接找圆有点困难，但反过来非常容易。所以可以先作任意大小两两相切等圆，然后做出满足条件的三角形和原三角形相似。最后利用相似关系可以在原三角形中找到目标圆

mathe

可以反过来让圆固定，作给定形状的外切三角形。现在过三圆心分别做相切边的平行线得到一个相似三角形，是外切三角形向内偏移一个圆半径的等距三角形。显然外切三角形越大，该等距三角形也越大。于是题目变成过固定正三角形顶点作给定形状的外接三角形，何时最大何时最小。

mathe

过外切三角形的每个顶点和与该顶点所在两边上的两个正三角形顶点作圆，三圆总是相交于一点，并且外切三角形在圆上滑动时该点不动。

hujunhua

mathe 发表于 2017-4-23 14:40
于是题目变成过固定正三角形顶点做形状固定的三角形，何时最大最小.

很好的简化！
又见三角形的内接正三角形，使我想起了三角形的等力点LH(1,1), 即@mathe楼上所说的那个三圆交点。
问题可以转化为求给定的三角形中的最大最小内接正三角形，那么基于等力点的简便作图法或可派上用场了。

原来5#的那个三法线所共之点就是mathe所作的等距三角形的等力点！
所以结果便是，由第1等力点向各边作垂线所得的垂足三角形就是最小内接正三角形。
这便得到了简明漂亮的尺规作图法。（终于摆脱了繁复的位似方法）

hujunhua

与等力点关联上后，最小性就有了一个简明漂亮的证明。

对于给定的三角形，它的内接正三角形的大小和位置虽然在变，但是形状未变。这没啥惊奇的，诸正三角形当然恒相似。
有点惊奇的是，再加上原三角形的等力点（一个固定点), 所构成的四点形也是形状不变的。
那么显然，当等力点与正三角形的诸顶点的连线与原三角形的对应边垂直时，各连线同时达到最短，因而这时四点形，也就是内接正三角形最小。

数学星空

对于第1问：

\(x^2+y^2+2xy\cos(C)=4r^2\).......(1)

\(x^2+z^2+2xz\cos(B)=4r^2\).......(2)

\(z^2+y^2+2zy\cos(A)=4r^2\).......(3)

\((x+r)a+(y+r)b+(z+r)c=2S\)..........(4)

消元\(x,y,z\)得

\((13a^4-4a^3b-4a^3c-18a^2b^2+4a^2bc-18a^2c^2-4ab^3+4ab^2c+4abc^2-4ac^3+13b^4-4b^3c-18b^2c^2-4bc^3+13c^4)r^4+(8a^3S-8a^2bS-8a^2cS-8ab^2S-48abcS-8ac^2S+8b^3S-8b^2cS-8bc^2S+8c^3S)r^3+(8a^2S^2+48abS^2+48acS^2+8b^2S^2+48bcS^2+8c^2S^2)r^2+(-32aS^3-32bS^3-32cS^3)r+16S^4=0\)

若将\(16S^2=2a^2c^2+2a^2b^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4\)代入则得到

\(256(c+a+b)^4(-c+a+b)^4(a-b-c)^4(-b+c+a)^4+(4096(3a^2+2ab+2ac+3b^2+2bc+3c^2))(c+a+b)^3(-c+a+b)^3(a-b-c)^3(-b+c+a)^3r^2+(8192(31a^4+20a^3b+20a^3c+26a^2b^2+44a^2bc+26a^2c^2+20ab^3+44ab^2c+44abc^2+20ac^3+31b^4+20b^3c+26b^2c^2+20bc^3+31c^4))(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2r^4-(65536(c+a+b))(a-b-c)(-c+a+b)(-b+c+a)(9a^6+82a^5b+82a^5c-25a^4b^2+74a^4bc-25a^4c^2-132a^3b^3-156a^3b^2c-156a^3bc^2-132a^3c^3-25a^2b^4-156a^2b^3c-150a^2b^2c^2-156a^2bc^3-25a^2c^4+82ab^5+74ab^4c-156ab^3c^2-156ab^2c^3+74abc^4+82ac^5+9b^6+82b^5c-25b^4c^2-132b^3c^3-25b^2c^4+82bc^5+9c^6)r^6+65536(13a^4-4a^3b-4a^3c-18a^2b^2+4a^2bc-18a^2c^2-4ab^3+4ab^2c+4abc^2-4ac^3+13b^4-4b^3c-18b^2c^2-4bc^3+13c^4)^2r^8=0\)

若令\(a=b=c=1\) 可以得到\(r=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)

mathe

各连线同时达到最短是怎么看出来的？

数学星空

对于第2问：
设\(B[0,0],C[a,0],A[x,y]\) 三个内切等圆圆心分别为\(D[r(m+1),r(1+n)],E[rm,r],F[r(m+2),r]\)

其中\(m=\cot(\frac{B}{2})=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{(a+b-c)(b+c-a)}},n=\sqrt{3}\)

\(x^2+y^2=c^2,y^2+(x-a)^2=b^2\)

由\(D\)到三角形边\(AC\)的距离为\(r\)得到\(r^2((a-x)^2+y^2)=(r(1+n)(a-x)+y r(1+m)-ay)^2\)

消元 \(x,y,m,n\)得到

\(a^4(a+b+c)^2(a+b-c)^2(a-b-c)^2(a+c-b)^2-4a^3(a+b+c)^2(a+b-c)^2(a-b-c)^2(a+c-b)^2r+4a^2(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+c-b)(5a^4+4a^3b+4a^3c+2a^2b^2+4a^2bc-4a^2c^2+3b^4-6b^2c^2+3c^4)r^2-16a(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+c-b)(2a^4+2a^3b+2a^3c+2a^2b^2+2a^2bc-a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4)r^3+(16a^8+32a^7b+32a^7c+48a^6b^2+160a^6bc+48a^6c^2-64a^5b^3+64a^5b^2c+256a^5bc^2+128a^5c^3-16a^4b^4-64a^4b^3c-32a^4b^2c^2+128a^4bc^3+128a^4c^4-32a^3b^5-32a^3b^4c+64a^3b^3c^2+64a^3b^2c^3-32a^3bc^4-32a^3c^5+16a^2b^6-32a^2b^5c-112a^2b^4c^2+64a^2b^3c^3+176a^2b^2c^4-32a^2bc^5-80a^2c^6+16b^8-64b^6c^2+96b^4c^4-64b^2c^6+16c^8)r^4=0\)

若令\(a=b=c=1\)得到\(r=\frac{\sqrt{3}-1}{4}\)

mathe

http://www.docin.com/touch/detail.do?id=118984369
不知道这个链接内容是否正确

数学青年