椭圆台曲面被斜截面截交的曲线求解

数学星空

参照46#的参数形式，我们可以设椭圆台的曲面参数方程为

\(x(t)=(ka_1+(1-k)a_2)\cos(t)+(kx_1+(1-k)x_2)\)

\(y(t)=(kb_1+(1-k)b_2)\sin(t)+(ky_1+(1-k)y_2)\)

\(z(t)=kh\)

我们可以计算上椭圆右端点\(k=1,t=0\)得到坐标点\(A[x=a_1-x_0,y=-y_0,z=h]\)

下椭圆左端点距底\(h_0\)处点\(k=\frac{h_0}{h},t=\pi\),得到坐标点\(B[x=-(a_2+\frac{h_0(a_1-a_2)}{h})-\frac{h_0x_0}{h},y=-\frac{h_0y_0}{h},z=h_0]\)

由A,B两点得到斜切面方程：

\((h^2 - hh_0)x + (-a_1h - a_1h_0 - a_2h + a_2h_0 + hx_0 - h_0x_0)z + 2a_1hh_0 + a_2h^2 - a_2hh_0=0\)

斜面截交曲线方程：

\(x=(ka_1 + (1 - k)a_2)\cos(t) - kx_0\)

\(y=(kb_1 + (1 - k)b_2)\sin(t) - ky_0\)

\(z=kh\)

\(k=\frac{(a_2h - a_2h_0)\cos(t) + 2h_0a_1 + a_2h - a_2h_0}{(a_1h - a_1h_0 - a_2h + a_2h_0)\cos(t) - a_1h - h_0a_1 - a_2h + a_2h_0}\)

偏心椭圆台曲面的隐函数方程：

\(\frac{(xh+zx_0)^2}{(za_1+a_2h-a_2z)^2}+\frac{(yh+zy_0)^2}{(zb_1+b_2h-b_2z)^2}=1\)

由上面的极径和极角公式，我们可以计算得到：

例1：正椭圆台

\(a_1 = 50, a_2 = 80, b_1 = 100, b_2 = 150, h = 150, h_0 = 0, x_0 = 0, y_0 = 0\)

斜切平面方程：

\(z=\frac{15x}{16}+\frac{1200}{13}\)

截交曲线参数方程：

\(x = 800\frac{\cos(t)}{3\cos(t) + 13}\),
\(y = 50\frac{\cos(t) + 31}{\sin(t)(3\cos(t) + 13)}\),
\(z =1200\frac{\cos(t) + 1}{3\cos(t) + 13}\)

绘图

绘图

（中间的曲线为截交曲线展开曲线，内外两条曲线为椭圆台上下端面展开曲线）

绘图

渐近分析展开得到的误差在 \([\pi,2\pi]\)区间误差较大，最大误差接近0.18度，可以勉强使用

渐近分析展开公式

，



对于偏心椭圆台：

\(a_1=50,a_2=100,b_1=80,b_2=250,h=150,h_0=30,x_0=10,x_1=-10,x_2=0,y_0=50,y_1=-50,y_2=0\)

绘图

绘图

绘图

（细线部分为利用渐近展开计算得到结果，粗实线为理论数值计算的结果，明显已偏移，渐近展开方案已不适用偏心椭圆台的计算）


经过各种尝试，终于找到一种变结点权函数的计算公式（高斯-勒让德积分计算公式，适用于偏心椭圆台展开计算）

（1）若将整个 \([0,2\pi]\)分成4等份计算，最大误差为0.9887度
         

       计算公式见
      

（2)若将整个 \([0,2\pi]\)分成4*8=32等份计算，最大误差为10^(-3)度，足矣满足工程要求

        计算公式见
        

       其中\(g_k\)的脚标表示\(t=k\)时的函数取值

数学星空

通过几个月的努力，对于共圆锥的斜切椭圆台曲面展开 终于将数学理论转化为参数化的一个应用程序







但是对于不共圆锥的椭圆台曲面展开（即无顶点），放射线法不适用了（因为没有顶点），还没找到合适的方法计算，谁有兴趣研究一下如何拓展放射法来解决此问题？





当然还有三角展开的方法，此方法的具体计算方法更复杂，主要是椭圆弧展开后的曲线方程是什么？

wayne

根据椭圆台,计算出对应的椭圆锥. 这样容易很多吧

mathe

对于曲面
\(\begin{cases}x(k,t)=(ka_1+(1-k)a_2)\cos(t)+(kx_1+(1-k)x_2) \\
y(k,t)=(kb_1+(1-k)b_2)\sin(t)+(ky_1+(1-k)y_2)\\
z(k,t)=kh \end{cases}\)
它不一定是椭圆锥，也就是 \(ka_1+(1-k)a_2)=0\)时，\(kb_1+(1-k)b_2\)可以不为0。
题目中希望求椭圆台被斜截面相交得到的平面曲线方程。
于是必然存在一个3*3的正交矩阵，使得使用这个正交矩阵做旋转变换后，斜截面同x-o-y平面平行。
我们不妨假设这个正交矩阵为\(A=(a_{ij})\).
于是采用相同正交阵以后，椭圆台参数方程变化为
\(A\begin{pmatrix}x(k,t) \\
y(k,t)\\
z(k,t) \end{pmatrix}\)
我们要求变换后z坐标为常数$z_0$,由此可以得到一个额外约束条件，也就是设A前两行为B,最后一行为行向量u,那么相交得到曲线在新x-o-y平面上方程就变为
\(B\begin{pmatrix}x(k,t) \\
y(k,t)\\
z(k,t) \end{pmatrix}\)其中\(u\begin{pmatrix}x(k,t) \\
y(k,t)\\
z(k,t)\end{pmatrix}=0\), 使用后面约束方程消除一个参数后就变成只有一个参数的平面曲线的参数方程了。
由于后面约束方程是关于参数k的线性表达式，消除k应该比较容易，于是最后可以表示为一个关于t的参数方程。

数学星空

mathe 发表于 2024-9-10 12:55
对于曲面
\(\begin{cases}x(k,t)=(ka_1+(1-k)a_2)\cos(t)+(kx_1+(1-k)x_2) \\
y(k,t)=(kb_1+(1-k)b_2)\sin( ...

@mathe
能否给出一个具体的计算实例，多谢啦

可以以下面参数为例计算哈：





将以上参数代51#的计算结果可以得到：

斜切平面方程 ：\(z=\frac{10x}{11}+\frac{1250}{11}\)

斜截交曲线方程 ：

\(x=\frac{10(41\cos(t)-5)}{2\cos(t)+7)}\)

\(y=\frac{-10(18\sin(t)\cos(t)+20\cos(t)-90\sin(t)+25)}{2\cos(t)+7}\)

\(z=\frac{150(4\cos(t)+5)}{2\cos(t)+7}\)

mathe

你这个例子，可以选择常数$w=1/\sqrt{221}$,于是变换阵
\(T=\begin{bmatrix}11w&0&10w\\0&1&0\\10w&0&-11w\end{bmatrix}\)
将斜切平面变换为\(z'=-1250w\)
如果代入51#方程，也就是
\(x=[\lambda a_1+(1-\lambda)a_2]\cos\varphi+[\lambda x_{10}+(1-\lambda)x_{20}]\)
\(y=[\lambda b_1+(1-\lambda)b_2]\sin\varphi+[\lambda y_{10}+(1-\lambda)y_{20}]\)
\(z=[\lambda h_1+(1-\lambda)h_2]\)
那么有\(z'=10w((\lambda a_1+(1-\lambda)a_2)\cos\varphi+\lambda x_{10}+(1-\lambda)x_{20})-11w(\lambda h_1+(1-\lambda)h_2)=-1250w\)
利用这个可以将\(\lambda\)表示位\(\varphi\)的函数\(\lambda(\varphi)\).
然后我们可以得到关于参数\(\varphi\)的平面曲线方程
\(x'=11w ([\lambda a_1+(1-\lambda)a_2]\cos\varphi+[\lambda x_{10}+(1-\lambda)x_{20}])+10w([\lambda h_1+(1-\lambda)h_2])\)
\(y'=[\lambda b_1+(1-\lambda)b_2]\sin\varphi+[\lambda y_{10}+(1-\lambda)y_{20}]\)
这个好处是结果是一条平面曲线，通常我们更容易理解平面曲线而不是空间曲线。

mathe

查看了一下，直纹面是可展曲面的充要条件是每条母线上法向量都是平行的。我们这里如果椭圆台曲面不是椭圆锥是，是不满足这个条件的，所以不是可展曲面，无法展开成平面