椭圆台曲面被斜截面截交的曲线求解

数学星空

对于上椭圆$\frac{x^2}{a_11^2}+\frac{y^2}{a_12^2}=1$
下椭圆$\frac{x^2}{a_21^2}+\frac{y^2}{a_22^2}=1$,
高为H的椭圆台曲面，设顶部刚好被平面斜切(斜切平面下端点距底部H0高)，如何求解斜切截交曲线的参数方程？

数学星空

计算方程应该有问题，大家可以利用其它方法求解？

数学星空

现在已解决了斜切椭圆台的曲线方程问题



下面我们探讨如何计算被切椭圆台曲面的展开图，并画出来？

Jack315

改变下符号……
上椭圆：\(\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1\)
下椭圆：\(\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1\)
将下椭圆与\(XOY\)平面重合，则椭圆长短轴与\(z\)的关系为：
\(a(z)=a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)\)
\(b(z)=b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)\)
椭圆台面斜坡曲面方程为：
\(\begin{matrix}\frac{x^2}{[a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)]^2}+\frac{y^2}{[b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)]^2}=1,&z\in[0,h]\end{matrix}\)

椭圆平台被一平面斜切后，在 \(XOZ\) 平面的投影如下图所示：

图中\(a_{h0}=a(h_0)=a_2-\frac{h_0}{h}(a_2-a_1)\)
不难求出法向量的斜率为：\(k=\frac{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1}{h(h-h_0)}\)
因此法向量为：\(\overrightarrow{n}=[h(h-h_0),0,(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1]\)
斜切平面方程为：\(h(h-h_0)(x+a_1)+[(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1](z-h)=0\)

联立椭圆台面斜坡曲面方程和斜切平面方程即得斜切截交曲线。
令：
\(x=[a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)]\cos\theta\)
\(y=[b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)]\sin\theta\)
代入斜切平面方程求得：
\(z(\theta)=\frac{h[2h_0a_1+(h-h_0)a_2(1-\cos\theta)]}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}\)
将\(z(\theta)\)代入前两式得：
\(x(\theta)=\frac{2[(h-h_0)a_2+h_0a_1]a_1\cos\theta}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}\)
\(y(\theta)=[b_1+\frac{2(h-h_0)a_1(b_2-b_1)\cos^2\frac{\theta}{2}}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}]\sin\theta\)
上述斜切截交曲线参数方程\(x(\theta), y(\theta), z(\theta)\)中，\(\theta\in[0,2\pi]\)

Jack315

Mathematic 公式推导，供参考。

椭圆长短轴与\(z\)的关系：

1. a[z_] := (a2 - a1) (1 - z/h) + a1
   
2. {a[0], a[h], a[h0]} // Simplify
   
3. 
   
4. {a2, a1, (a2 h + a1 h0 - a2 h0)/h}

复制代码

法向量的斜率：

1. k = -((-a[h] - a[h0])/(h - h0)) // Simplify
   
2. 
   
3. (a2 + (a1 (h + h0))/(h - h0))/h

复制代码

求参数方程……
x：

1. x = a[z] Cos[\[Theta]] // Simplify
   
2. 
   
3. ((a2 (h - z) + a1 z) Cos[\[Theta]])/h

复制代码

验证：

1. {x /. \[Theta] -> 0 /. z -> h0, x /. \[Theta] -> \[Pi] /. z -> h} // Simplify
   
2. 
   
3. {(a2 h + a1 h0 - a2 h0)/h, -a1}

复制代码

y：

1. y = b[z] Sin[\[Theta]]
   
2. 
   
3. (b1 + (-b1 + b2) (1 - z/h)) Sin[\[Theta]]
   

复制代码

z：

1. solz = Solve[h (h - h0) x + (a2 (h - h0) + a1 (h + h0)) z - h (2 h0 a1 + a2 (h - h0)) == 0, z] // Simplify
   
2. 
   
3. {{z -> (h (-2 a1 h0 + a2 (-h + h0) + a2 (h - h0) Cos[\[Theta]]))/(a2 (-h + h0) - a1 (h + h0) - (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])}}

复制代码

验证：

1. z /. solz /. \[Theta] -> {0, \[Pi]} // Simplify
   
2. 
   
3. {{h0, h}}

复制代码

z 代入 x：

1. x /. solz // Simplify
   
2. 
   
3. {(2 a1 (a2 (h - h0) + a1 h0) Cos[\[Theta]])/(a2 (h - h0) + a1 (h + h0) + (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])}

复制代码

z 代入 y：

1. y /. solz // Simplify
   
2. 
   
3. {(b1 - (2 a1 (b1 - b2) (h - h0) Cos[\[Theta]/2]^2)/(a2 (h - h0) + a1 (h + h0) + (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])) Sin[\[Theta]]}

复制代码

Jack315

曲面展开先说个思路：
首先将椭圆台面斜坡曲面展开成一个扇形。
然后再根据斜切截交曲线确定在扇形上的曲线。

Jack315

（椭）圆锥体应该是可展曲面。
下面这个图可能是不可展曲面：

至于椭圆台是不是可展曲面还说不好。
一下子入门貌似不容易。
努力学习《微分几何》中……

数学星空

网友Huxley 给出了一般的理论分析见下截图
但没有看明白，请大神@mathe,@hujunhua帮忙看看，第(5)的公式是否正确，如何得到其渐进表达式(用代数表示)？

数学星空

下面是收集到的一般椭圆台曲面展开曲线，能否给出上下截面曲线(红色方框部分)的参数表达式？

数学星空

数学星空 发表于 2024-3-22 11:24
下面是收集到的一般椭圆台曲面展开曲线，能否给出上下截面曲线(红色方框部分)的参数表达式？
...

上下椭圆长/短轴分别为a11/a12,a21/a22,椭圆中心连线与水平面成t 度，上椭圆面被斜平面(与水平面成t1度)斜切，从上椭圆右短点开始斜切，左下切点距底面高度为h0，上下椭圆中心连线垂直高度为h,试求上下椭圆面的展开后参数曲线表达？

下面截图仅适用于上下椭圆中心连线垂直水平面情形@mathe 看看能否分析一下下面的问题哈