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[原创] 椭圆台曲面被斜截面截交的曲线求解

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发表于 2024-3-6 05:48:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于上椭圆$\frac{x^2}{a_11^2}+\frac{y^2}{a_12^2}=1$
下椭圆$\frac{x^2}{a_21^2}+\frac{y^2}{a_22^2}=1$,
高为H的椭圆台曲面,设顶部刚好被平面斜切(斜切平面下端点距底部H0高),如何求解斜切截交曲线的参数方程?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-3-6 05:54:54 | 显示全部楼层
计算方程应该有问题,大家可以利用其它方法求解?
mmexport1709675481499.png
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 楼主| 发表于 2024-3-18 06:55:35 来自手机 | 显示全部楼层
现在已解决了斜切椭圆台的曲线方程问题
mmexport1710715867853.png
mmexport1710715870761.png
mmexport1710715874674.png
下面我们探讨如何计算被切椭圆台曲面的展开图,并画出来?

点评

机械制图软件或许可以借鉴,如 ProE 。  发表于 2024-3-19 09:35
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发表于 2024-3-19 18:00:49 | 显示全部楼层
改变下符号……
上椭圆:\(\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1\)
下椭圆:\(\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1\)
将下椭圆与\(XOY\)平面重合,则椭圆长短轴与\(z\)的关系为:
\(a(z)=a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)\)
\(b(z)=b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)\)
椭圆台面斜坡曲面方程为:
\(\begin{matrix}\frac{x^2}{[a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)]^2}+\frac{y^2}{[b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)]^2}=1,&z\in[0,h]\end{matrix}\)

椭圆平台被一平面斜切后,在 \(XOZ\) 平面的投影如下图所示:
XOZ平面投影.png
图中\(a_{h0}=a(h_0)=a_2-\frac{h_0}{h}(a_2-a_1)\)
不难求出法向量的斜率为:\(k=\frac{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1}{h(h-h_0)}\)
因此法向量为:\(\overrightarrow{n}=[h(h-h_0),0,(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1]\)
斜切平面方程为:\(h(h-h_0)(x+a_1)+[(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1](z-h)=0\)

联立椭圆台面斜坡曲面方程和斜切平面方程即得斜切截交曲线。
令:
\(x=[a_2-\frac{z}{h}(a_2-a_1)]\cos\theta\)
\(y=[b_2-\frac{z}{h}(b_2-b_1)]\sin\theta\)
代入斜切平面方程求得:
\(z(\theta)=\frac{h[2h_0a_1+(h-h_0)a_2(1-\cos\theta)]}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}\)
将\(z(\theta)\)代入前两式得:
\(x(\theta)=\frac{2[(h-h_0)a_2+h_0a_1]a_1\cos\theta}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}\)
\(y(\theta)=[b_1+\frac{2(h-h_0)a_1(b_2-b_1)\cos^2\frac{\theta}{2}}{(h-h_0)a_2+(h+h_0)a_1-(h-h_0)(a_2-a_1)\cos\theta}]\sin\theta\)
上述斜切截交曲线参数方程\(x(\theta), y(\theta), z(\theta)\)中,\(\theta\in[0,2\pi]\)

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数学星空 + 12 + 12 + 12 + 9 + 12 赞一个!与我的计算思路是一致的.

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发表于 2024-3-19 19:36:59 | 显示全部楼层
Mathematic 公式推导,供参考。

椭圆长短轴与\(z\)的关系:
  1. a[z_] := (a2 - a1) (1 - z/h) + a1
  2. {a[0], a[h], a[h0]} // Simplify

  3. {a2, a1, (a2 h + a1 h0 - a2 h0)/h}
复制代码

法向量的斜率:
  1. k = -((-a[h] - a[h0])/(h - h0)) // Simplify

  2. (a2 + (a1 (h + h0))/(h - h0))/h
复制代码

求参数方程……
x:
  1. x = a[z] Cos[\[Theta]] // Simplify

  2. ((a2 (h - z) + a1 z) Cos[\[Theta]])/h
复制代码

验证:
  1. {x /. \[Theta] -> 0 /. z -> h0, x /. \[Theta] -> \[Pi] /. z -> h} // Simplify

  2. {(a2 h + a1 h0 - a2 h0)/h, -a1}
复制代码

y:
  1. y = b[z] Sin[\[Theta]]

  2. (b1 + (-b1 + b2) (1 - z/h)) Sin[\[Theta]]
复制代码

z:
  1. solz = Solve[h (h - h0) x + (a2 (h - h0) + a1 (h + h0)) z - h (2 h0 a1 + a2 (h - h0)) == 0, z] // Simplify

  2. {{z -> (h (-2 a1 h0 + a2 (-h + h0) + a2 (h - h0) Cos[\[Theta]]))/(a2 (-h + h0) - a1 (h + h0) - (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])}}
复制代码

验证:
  1. z /. solz /. \[Theta] -> {0, \[Pi]} // Simplify

  2. {{h0, h}}
复制代码

z 代入 x:
  1. x /. solz // Simplify

  2. {(2 a1 (a2 (h - h0) + a1 h0) Cos[\[Theta]])/(a2 (h - h0) + a1 (h + h0) + (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])}
复制代码

z 代入 y:
  1. y /. solz // Simplify

  2. {(b1 - (2 a1 (b1 - b2) (h - h0) Cos[\[Theta]/2]^2)/(a2 (h - h0) + a1 (h + h0) + (a1 - a2) (h - h0) Cos[\[Theta]])) Sin[\[Theta]]}
复制代码

点评

你可以考虑一下,如何计算斜切后的椭圆台曲面展开图哈~  发表于 2024-3-19 20:00
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发表于 2024-3-19 22:04:02 | 显示全部楼层
曲面展开先说个思路:
首先将椭圆台面斜坡曲面展开成一个扇形。
然后再根据斜切截交曲线确定在扇形上的曲线。

点评

曲面展开以前没玩过,不知道能不能快速入门。  发表于 2024-3-20 08:14
对应展开的椭圆弧,长度计算及对应的角度计算很难参数化,可能要用渐进展开技巧  发表于 2024-3-20 03:16
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发表于 2024-3-21 06:48:40 | 显示全部楼层
(椭)圆锥体应该是可展曲面。
下面这个图可能是不可展曲面:
不可展曲面.png
至于椭圆台是不是可展曲面还说不好。
一下子入门貌似不容易。
努力学习《微分几何》中……

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可以先研究由椭圆锥体斜切后的可展曲面,至于不可展曲面可以先不考虑  发表于 2024-3-21 07:37
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 楼主| 发表于 2024-3-22 11:14:50 来自手机 | 显示全部楼层
网友Huxley 给出了一般的理论分析见下截图
但没有看明白,请大神@mathe,@hujunhua帮忙看看,第(5)的公式是否正确,如何得到其渐进表达式(用代数表示)?
Screenshot_2024-03-22-11-08-19-652_com.zhihu.android.jpg

点评

@mathe 4#已经求出截交曲线的参数方程了  发表于 2024-3-22 13:19
他这里是展开而不是截取,这会不同,展开后,曲线必然不封闭了  发表于 2024-3-22 12:40
看上去问题好像不大,就是太复杂了,椭圆椎被平面截取得出的曲线不就是椭圆的射影变换结果吗?那必须是圆锥曲线  发表于 2024-3-22 12:37
@mathe  发表于 2024-3-22 11:16
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 楼主| 发表于 2024-3-22 11:24:13 来自手机 | 显示全部楼层
下面是收集到的一般椭圆台曲面展开曲线,能否给出上下截面曲线(红色方框部分)的参数表达式?
mmexport1711077684128.png

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椭圆台的问题你是如何定义上下两椭圆上点的对应关系的  发表于 2024-3-22 12:38
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 楼主| 发表于 2024-3-22 13:17:17 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2024-3-22 11:24
下面是收集到的一般椭圆台曲面展开曲线,能否给出上下截面曲线(红色方框部分)的参数表达式?
...


上下椭圆长/短轴分别为a11/a12,a21/a22,椭圆中心连线与水平面成t 度,上椭圆面被斜平面(与水平面成t1度)斜切,从上椭圆右短点开始斜切,左下切点距底面高度为h0,上下椭圆中心连线垂直高度为h,试求上下椭圆面的展开后参数曲线表达?

下面截图仅适用于上下椭圆中心连线垂直水平面情形@mathe 看看能否分析一下下面的问题哈

mmexport1711090491054.png

mmexport1711091227672.png

mmexport1711091426463.png
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