折纸重叠面积问题

mathe

前面k=-1的根好像不对，不过可以看出对于k>=1/3时上面不等式恒大于零，也就是不存在x使得k>=1/3

mathe

k的不等式可写为$3a^2(2b^2+2c^2-a^2)(3k^2+2k-1)+(b^2-c^2)^2(k-1)^2>=0$

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TO mathe,上面的表达式好像不对吧？

判别式：$ A=((a^2+b^2+c^2)k+c^2+b^2-a^2)^2-4((b^2-a^2)k+c^2)((c^2-a^2)k+b^2)$

楼上的式子：$B=3a^2(-a^2+2b^2+2c^2)(3k^2+3k-1)+(b^2-c^2)^2(k-1)^2$

则： $3A-B=2b^4k^2-4b^2c^2k^2+2c^4k^2+3a^4k-6a^2b^2k-6a^2c^2k-4b^4k+8b^2c^2k-4c^4k+2b^4-4b^2c^2+2c^4$

不过我们可以得到

$A_1=(b^2-c^2)^2$

$B_1=3a^2(-a^2+2b^2+2c^2)$

则：$3A=3(A_1+B_1)k^2-2(3A_1-B_1)k+(3A_1-B_1)=(3A_1-B_1)(k-1)^2+4B_1k^2=3(c+a+b)(-c+a+b)(a-b-c)(-b+c+a)(k-1)^2+12a^2(-a^2+2b^2+2c^2)k^2>=0$

有趣的是，我们得到了

$k<=S/{S+am_a}<=S/{S+2S}=1/3$

其中$S=sqrt((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))/4$为三角形ABC的面积，$m_a=sqrt(2b^2+2c^2-a^2)/2$为a边上的中线长

注：$am_a>=ah_a=2S$

mathe

是3k^2+2k-1,2写成3了

mathe

另外判别式恒大于0总是有解而不是无解，只是不是最值。所以最好对一般二次分式分析极值情况，证明正好对应判别式为零情况，这个并不难，可以有初等方法。

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叶中豪得到的结论是：
当折痕\(EF\)在\(AB,AC\)两边之间（且与两边夹角AEF,AFE都不大于\(90^\circ\) 时），当且仅当\(EF=2DE\cos(\angle AEF)+2FG\cos(\angle AFE)\)时，折痕部分\(DEFG\)面积达到最大

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成立条件可以写成方程式

\(\cos(\alpha)=\frac{x}{kc}\)

\(\cos(\beta)=\frac{y}{bk}\)

\(\alpha+\beta+A=\pi\)

\(a=kc\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(B)}+kb\frac{\sin(2\beta)}{\sin(C)}+ka\)

\(b=2(x+y)\frac{\sin(\alpha)}{\sin(A)}+kb\frac{\sin(2\beta-C)}{\sin(C)}\)

\(c=2(x+y)\frac{\sin(\beta)}{\sin(A)}+kc\frac{\sin(2\alpha-B)}{\sin(B)}\)

容易算得最大面积重叠率：\(K=k^2(1+\frac{c^2\sin(2\alpha)+b^2\sin(2\beta)}{bc\sin(A)})\)

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关于87#结论的计算结果：

为了便于消元计算将87#作简化代换得到：

1.\(m^2k^2c^2-(ck-x)(ck+x)=0\)

2.\(n^2b^2k^2-(bk-y)(bk+y)=0\)

3.\(bny+cmx+ks-s=0\)

4.\(a^2ckmx-b^2ckmx+2bc^2knx+2bc^2kny+c^3kmx+2c^2k^2s-2c^2ks-4sx^2=0\)

5.\(a^2bkny+b^3kny+2b^2ckmx+2b^2ckmy-bc^2kny+2b^2k^2s-2b^2ks-4sy^2=0\)

6.\(-bkny-ckmx-k^2s+Ks=0\)

7.\(16s^2+(a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4)=0\)



关于\(x,y,k\)变元得到的最终结果为：

\(16b^6c^6(a^4b^4+a^4c^4-2a^2b^6-2a^2b^4c^2-2a^2b^2c^4-2a^2c^6+b^8-2b^4c^4+c^8)(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2+16b^4c^4(a^6b^6+2a^6b^4c^2+2a^6b^2c^4+a^6c^6-3a^4b^8-13a^4b^6c^2-12a^4b^4c^4-13a^4b^2c^6-3a^4c^8+3a^2b^{10}+17a^2b^8c^2+20a^2b^6c^4+20a^2b^4c^6+17a^2b^2c^8+3a^2c^{10}-b^{12}-6b^{10}c^2+b^8c^4+12b^6c^6+b^4c^8-6b^2c^{10}-c^{12})(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2k+16b^4c^4(2a^8b^4+2a^8b^2c^2+2a^8c^4-11a^6b^6-22a^6b^4c^2-22a^6b^2c^4-11a^6c^6+20a^4b^8+63a^4b^6c^2+74a^4b^4c^4+63a^4b^2c^6+20a^4c^8-15a^2b^{10}-57a^2b^8c^2-72a^2b^6c^4-72a^2b^4c^6-57a^2b^2c^8-15a^2c^{10}+4b^{12}+14b^{10}c^2-4b^8c^4-28b^6c^6-4b^4c^8+14b^2c^{10}+4c^{12})(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2k^2+16b^4c^4(a^{10}b^2+a^{10}c^2-9a^8b^4-14a^8b^2c^2-9a^8c^4+28a^6b^6+65a^6b^4c^2+65a^6b^2c^4+28a^6c^6-38a^4b^8-119a^4b^6c^2-154a^4b^4c^4-119a^4b^2c^6-38a^4c^8+23a^2b^{10}+81a^2b^8c^2+112a^2b^6c^4+112a^2b^4c^6+81a^2b^2c^8+23a^2c^{10}-5b^{12}-14b^{10}c^2+5b^8c^4+28b^6c^6+5b^4c^8-14b^2c^{10}-5c^{12})(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2k^3-16b^4c^4(a^2-2b^2-c^2)(a^2-b^2-2c^2)(a^6b^2+a^6c^2-4a^4b^4-6a^4b^2c^2-4a^4c^4+4a^2b^6+8a^2b^4c^2+8a^2b^2c^4+4a^2c^6-b^8+2b^4c^4-c^8)(c+a+b)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2k^4=0\)

A:

\(b^2(-c+a+b)(c+a+b)(-b+c+a)(a-b-c)+4(a^2-2b^2-c^2)^2x^2=0\)

\(c^2(c+a+b)(a-b-c)(-c+a+b)(-b+c+a)+4(a^2-b^2-2c^2)^2y^2=0\)


B:

\(bc^3(c+a+b)(a-b-c)+4(b^2-bc+c^2)^2x^2=0\)

\(cb^3(c+a+b)(a-b-c)+4(b^2-bc+c^2)^2y^2=0\)


C:

\(bc^3(-c+a+b)(-b+c+a)-4(b^2+bc+c^2)^2x^2=0\)

\(cb^3(-c+a+b)(-b+c+a)-4(b^2+bc+c^2)^2y^2=0\)

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很奇怪得到一组特殊的解：


\[x=0\]

\[y=\frac{\sqrt{(-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4)}c}{2(-a^2+b^2+2c^2)}\]

\[m = 1\]

\[n = \frac{-a^2+b^2+c^2}{2cb}\]

\[\lambda =\frac{AE}{AB}= \frac{2c^2}{-a^2+b^2+2c^2}\]

\[\mu =\frac{AF}{AC}= \frac{a^2-b^2-c^2}{a^2-b^2-2c^2}\]

\[K =\mu\lambda-(\mu-k)(\lambda-k)= \frac{c^2}{-a^2+b^2+2c^2}\]

我们可以证明：

\[\frac{1}{2} \geqslant  K \geqslant \frac{1}{3}\]

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对于86#中图片中的\(P \ne AA' \cap  EF\),出乎了我的意外,并且此种条件计算的\(K\)值并不是最好的

例如:

对于\(a=3,b=4,c=5\),我们可以分三种情形计算87#条件下的\(K\)值