折纸重叠面积问题

数学星空

是的，就是根据你的参数计算得到的，由于三角函数表达很复杂，所以我用$sin(A)=a/{2*R},cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/{2*b*c},...,$代入后，反而结论更简洁，即57#的结果
不过，你50#提到的 $s*c*sin(A+h)=t*b*sin(h)，$我更正为 ${s*c}/sin(A+h)={t*b}/sin(h),$其余的都是和你的计算一致的

mathe

不错，用了余弦定理。前面公式的确可能有些错误，我是在一个小平板上输入的，也没有画图，估计和我的pari/gp代码也不一致

mathe

(5)式里b和c不对称，是否有计算问题？

数学星空

（5）$(a^2-b^2)*k^2+(-a^2*t+3*b^2*t+c^2*t+a^2-b^2-c^2)*k+a^2*t^2-2*b^2*t^2-2*c^2*t^2-a^2*t+b^2*t+3*c^2*t-c^2＝0$

由57#两个方程的两个因子

$a^2*k*s^2+a^2*k*s*t+a^2*k*t^2-b^2*k*s^2+b^2*k*s*t+c^2*k*s*t-c^2*k*t^2-a^2*s*t+b^2*s*t-b^2*t^2-c^2*s^2+c^2*s*t＝0$

$a^2*s^2+a^2*s*t+a^2*t^2-b^2*s^2+b^2*s*t+c^2*s*t-c^2*t^2-a^2*s-a^2*t+b^2*s-b^2*t-c^2*s+c^2*t＝0$

消元s得到

mathe

也就是你得出的k的表达式为:
$a^2*k*s^2+a^2*k*s*t+a^2*k*t^2-b^2*k*s^2+b^2*k*s*t+c^2*k*s*t-c^2*k*t^2-a^2*s*t+b^2*s*t-b^2*t^2-c^2*s^2+c^2*s*t=0$了。
$k={(a^2-b^2-c^2)st+b^2t^2+c^2s^2}/{a^2s^2+a^2st+a^2t^2-b^2s^2+b^2st+c^2st-c^2t^2}$
我刚刚试着用pari/gp算了出来，得不到这么简化的表达式。这个表达式极值可以直接计算了，不会太难

mathe

上面的k是两个二次型的比值，由于存在合同变换同时将两个对称矩阵对角化，k存在唯一最大值和最小值，但是取值只同t/s有关系好像不对

mathe

估计星空这里给出的k的公式是在t取极值情况，于是k变成$s/t$的公式.不知道k的原始公式是什么，是否复杂

数学星空

我是根据
$s=-{r2}/{2*r1}, k={4*r1*r3-r2^2}/{4*r1*w3*u3}$算出

(a^2*b^2*s-b^2*c^2*s)*x^4+(a^4*s-2*a^2*c^2*s+b^4*s+2*b^2*c^2*s+c^4*s-a^2*b^2-b^4+b^2*c^2)*x^3+(a^4*s+a^2*b^2*s+a^2*c^2*s-2*b^4*s-2*b^2*c^2*s-2*c^4*s-a^4-a^2*b^2+2*a^2*c^2+2*b^4-b^2*c^2-c^4)*x^2+(a^4*s-2*a^2*b^2*s+b^4*s+2*b^2*c^2*s+c^4*s-a^4+2*a^2*b^2-a^2*c^2-b^4-b^2*c^2+2*c^4)*x+a^2*c^2*s-b^2*c^2*s-a^2*c^2+b^2*c^2-c^4＝0

(-a^4*b^4*k+2*a^2*b^4*c^2*k-b^4*c^4*k+a^2*b^6-b^6*c^2)*x^8+(-a^6*b^2*k+2*a^4*b^4*k+3*a^4*b^2*c^2*k-a^2*b^6*k-8*a^2*b^4*c^2*k-3*a^2*b^2*c^4*k+b^6*c^2*k+6*b^4*c^4*k+b^2*c^6*k+2*a^4*b^4-4*a^2*b^6-4*a^2*b^4*c^2+6*b^6*c^2+2*b^4*c^4)*x^7+(2*a^6*b^2*k-2*a^4*b^4*k-10*a^4*b^2*c^2*k+4*a^2*b^6*k+14*a^2*b^4*c^2*k+14*a^2*b^2*c^4*k-6*b^6*c^2*k-16*b^4*c^4*k-6*b^2*c^6*k+a^6*b^2-7*a^4*b^4-3*a^4*b^2*c^2+6*a^2*b^6+19*a^2*b^4*c^2+3*a^2*b^2*c^4-15*b^6*c^2-12*b^4*c^4-b^2*c^6)*x^6+(a^8*k-3*a^6*c^2*k+5*a^4*b^4*k+11*a^4*b^2*c^2*k+3*a^4*c^4*k-6*a^2*b^6*k-19*a^2*b^4*c^2*k-26*a^2*b^2*c^4*k-a^2*c^6*k+15*b^6*c^2*k+26*b^4*c^4*k+15*b^2*c^6*k-4*a^6*b^2+8*a^4*b^4+14*a^4*b^2*c^2-4*a^2*b^6-36*a^2*b^4*c^2-16*a^2*b^2*c^4+20*b^6*c^2+30*b^4*c^4+6*b^2*c^6)*x^5+(a^8*k+2*a^6*b^2*k+2*a^6*c^2*k-7*a^4*b^4*k-8*a^4*b^2*c^2*k-7*a^4*c^4*k+4*a^2*b^6*k+26*a^2*b^4*c^2*k+26*a^2*b^2*c^4*k+4*a^2*c^6*k-20*b^6*c^2*k-30*b^4*c^4*k-20*b^2*c^6*k-a^8+3*a^6*b^2+3*a^6*c^2-3*a^4*b^4-22*a^4*b^2*c^2-3*a^4*c^4+a^2*b^6+34*a^2*b^4*c^2+34*a^2*b^2*c^4+a^2*c^6-15*b^6*c^2-40*b^4*c^4-15*b^2*c^6)*x^4+(a^8*k-3*a^6*b^2*k+3*a^4*b^4*k+11*a^4*b^2*c^2*k+5*a^4*c^4*k-a^2*b^6*k-26*a^2*b^4*c^2*k-19*a^2*b^2*c^4*k-6*a^2*c^6*k+15*b^6*c^2*k+26*b^4*c^4*k+15*b^2*c^6*k-4*a^6*c^2+14*a^4*b^2*c^2+8*a^4*c^4-16*a^2*b^4*c^2-36*a^2*b^2*c^4-4*a^2*c^6+6*b^6*c^2+30*b^4*c^4+20*b^2*c^6)*x^3+(2*a^6*c^2*k-10*a^4*b^2*c^2*k-2*a^4*c^4*k+14*a^2*b^4*c^2*k+14*a^2*b^2*c^4*k+4*a^2*c^6*k-6*b^6*c^2*k-16*b^4*c^4*k-6*b^2*c^6*k+a^6*c^2-3*a^4*b^2*c^2-7*a^4*c^4+3*a^2*b^4*c^2+19*a^2*b^2*c^4+6*a^2*c^6-b^6*c^2-12*b^4*c^4-15*b^2*c^6)*x^2+(-a^6*c^2*k+3*a^4*b^2*c^2*k+2*a^4*c^4*k-3*a^2*b^4*c^2*k-8*a^2*b^2*c^4*k-a^2*c^6*k+b^6*c^2*k+6*b^4*c^4*k+b^2*c^6*k+2*a^4*c^4-4*a^2*b^2*c^4-4*a^2*c^6+2*b^4*c^4+6*b^2*c^6)*x-a^4*c^4*k+2*a^2*b^2*c^4*k-b^4*c^4*k+a^2*c^6-b^2*c^6＝0


其中$x=t/s$（为了输入方便，我先作的代换）,将其代入上面并分解因式就得到了

$s*(a^2*s^2+a^2*s*t+a^2*t^2-b^2*s^2+b^2*s*t+c^2*s*t-c^2*t^2-a^2*s-a^2*t+b^2*s-b^2*t-c^2*s+c^2*t)*(a^2*s*t-b^2*s*t+b^2*t^2+c^2*s^2-c^2*s*t)＝0 $

$(a*t-c*s+c*t)*(a*t+c*s-c*t)*(a*s-b*s+b*t)*(a*s+b*s-b*t)*(a^2*s*t-b^2*s*t+b^2*t^2+c^2*s^2-c^2*s*t)*(a^2*k*s^2+a^2*k*s*t+a^2*k*t^2-b^2*k*s^2+b^2*k*s*t+c^2*k*s*t-c^2*k*t^2-a^2*s*t+b^2*s*t-b^2*t^2-c^2*s^2+c^2*s*t)＝0$

具体的计算见附件
折纸重叠最大面积003.pdf (914.01 KB, 下载次数: 23)

2014-1-11 13:15 上传

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mathe

附件里面f334里面u,v的表达式非常简单了，能够直接将st-uv用s和t表示出来吗？然后看看能否因子分解

数学星空

可以将u,v消掉得到
a^4*s^4*t^2+a^4*s^3*t^3+a^4*s^2*t^4-2*a^2*b^2*s^4*t^2+a^2*b^2*s^3*t^3+a^2*b^2*s*t^5+a^2*c^2*s^5*t+a^2*c^2*s^3*t^3-2*a^2*c^2*s^2*t^4+b^4*s^4*t^2-2*b^4*s^3*t^3+b^4*s^2*t^4-b^2*c^2*s^5*t+2*b^2*c^2*s^4*t^2-2*b^2*c^2*s^3*t^3+2*b^2*c^2*s^2*t^4-b^2*c^2*s*t^5+c^4*s^4*t^2-2*c^4*s^3*t^3+c^4*s^2*t^4+a^4*k*s^2*t^2-2*a^4*s^3*t^2-2*a^4*s^2*t^3-a^2*b^2*k*s^2*t^2+2*a^2*b^2*k*s*t^3-a^2*b^2*k*t^4+4*a^2*b^2*s^3*t^2-2*a^2*b^2*s^2*t^3-2*a^2*b^2*s*t^4-a^2*c^2*k*s^4+2*a^2*c^2*k*s^3*t-a^2*c^2*k*s^2*t^2-2*a^2*c^2*s^4*t-2*a^2*c^2*s^3*t^2+4*a^2*c^2*s^2*t^3-2*b^4*s^3*t^2+4*b^4*s^2*t^3-2*b^4*s*t^4+b^2*c^2*k*s^4-4*b^2*c^2*k*s^3*t+6*b^2*c^2*k*s^2*t^2-4*b^2*c^2*k*s*t^3+b^2*c^2*k*t^4+2*b^2*c^2*s^4*t-2*b^2*c^2*s^3*t^2-2*b^2*c^2*s^2*t^3+2*b^2*c^2*s*t^4-2*c^4*s^4*t+4*c^4*s^3*t^2-2*c^4*s^2*t^3+a^4*s^2*t^2-2*a^2*b^2*s^2*t^2+2*a^2*b^2*s*t^3+2*a^2*c^2*s^3*t-2*a^2*c^2*s^2*t^2+b^4*s^2*t^2-2*b^4*s*t^3+b^4*t^4-2*b^2*c^2*s^3*t+4*b^2*c^2*s^2*t^2-2*b^2*c^2*s*t^3+c^4*s^4-2*c^4*s^3*t+c^4*s^2*t^2＝0
但是无法因式分解