折纸重叠面积问题

hujunhua

mathe 发表于 2014-1-2 20:54
老胡这个方法折痕是直径吗？等腰三角形显然不符合呀

折痕不是直径，外接圆的结论也不成立。哈哈，乱打了一棒。

mathe

翻折后如果顶点落下三角形内部必然不是最优情况，直接不予考虑即可

wayne

mathe 发表于 2014-1-4 19:29
翻折后如果顶点落下三角形内部必然不是最优情况，直接不予考虑即可

顶点落在三角形外面,也要根据三角形三边所在直线所划分的区域, 分好几种情况,

mathe

我们假设折顶点C,也就是折痕交AC,BC于D,E.
折后C落在C'.
首先C'在三角形内部不用考虑。

可以证明如果C'在直线BC外侧，那么必然面积不是最优。
如果C‘在BC外侧，角DEC为钝角。设DC'角三角形边界于T
首先固定D,稍微移动E,设DE转动角度x,那么DT转动2x,由此得知在取最值时，面积变化率为0,由此可以得出$DE=sqrt(2)DT$
另外，我们也可以平移DE极小范围，同样由面积变化率为0得出角CDE只能是45度。由此我们可以进一步得出T不能在BC上（在AB上）
然后进一步得出角DEC不能是钝角矛盾。由此得出C'不能在BC外侧，同样也不能AC外侧，于是必然AB外侧而且在角ACB内部才行

mathe

发现弄错了，在C小于45度时，上面极值条件还是可以取到的，只是这种极值情况非常容易计算

倪举鹏

已经通过严谨的几何方法求出三边是2,2^0.5,2-2^0.5的三角形满足达到极值0.414213562了。三页纸很难写在这里的。最开始也暴力破解过，算平面直线交点，或 设两个未知数来表示面积求两个偏导数为0，发现软件也无力了，数值解都得不出来……

mathe

折痕过顶点的情况除了对角线以外，还可能有一个极值条件。类似上面分析可以知道需要折痕长度是边落在三角形内部长度的$sqrt(2)$倍。好像可以得出可以取到这种极值条件下一个角的正切值小于${sqrt(2)}/5$

mathe

所以现在归纳一下最值情况一下几种情况
i)边界条件某个角的对角线
ii)边界条件下的极值情况37#,过顶点折痕但是不是对角线的(容易淘汰，不超过1/3)
iii)边界条件下的极值情况20#中垂直某条边的折痕
iv)34#中C'落在BC外侧而且C小于45度情况的极值情况 (75#淘汰之不可能最大)
v)最后一种C'落在AB外侧而且在角ACB内部的极值情况(79#和83#淘汰之)
其中前面4种计算都非常简单，只有最后一种有两个变量，要求两个变量偏导数都是0后可以得到两个变量的函数方程，但是不是初等函数（三角函数），不知道是否可以简单求解，也许只能数值求解。

倪举鹏

mathe 发表于 2014-1-5 07:20
折痕过顶点的情况除了对角线以外，还可能有一个极值条件。类似上面分析可以知道需要折痕长度是边落在三角形 ...

同时考虑三个角平分线，可以得到比值不超过0.382，但是这个时候  垂直最长边折达到了0.447

数学星空

对于最后一种情况：(已设定$a>b>c$)
只需求解
${a = 2*s, b^2 = ((x+1)^2+y^2)*s^2, c^2 = ((x-1)^2+y^2)*s^2}$，
得到$ x＝(b^2-c^2)/a^2, y＝sqrt(-a^4+2*a^2*b^2+2*a^2*c^2-b^4+2*b^2*c^2-c^4)/a^2$
代入8#的$g0$表达式即可得到(三角形三边$a,b,c$,关于定分比系数$lambda,mu$及重叠面积率$k$的方程）
$f(lambda,mu,k)=a^4*k*lambda^5*mu^5+3*a^4*k*lambda^5*mu^4+3*a^4*k*lambda^4*mu^5+3*a^4*k*lambda^5*mu^3+9*a^4*k*lambda^4*mu^4+3*a^4*k*lambda^3*mu^5-a^4*lambda^5*mu^4-a^4*lambda^4*mu^5-a^2*b^2*k*lambda^5*mu^3+$
$2*a^2*b^2*k*lambda^4*mu^4-a^2*b^2*k*lambda^3*mu^5-a^2*c^2*k*lambda^5*mu^3+2*a^2*c^2*k*lambda^4*mu^4-a^2*c^2*k*lambda^3*mu^5+a^4*k*lambda^5*mu^2+9*a^4*k*lambda^4*mu^3+9*a^4*k*lambda^3*mu^4+$
$a^4*k*lambda^2*mu^5-a^4*lambda^5*mu^3-5*a^4*lambda^4*mu^4-a^4*lambda^3*mu^5-3*a^2*b^2*k*lambda^5*mu^2+5*a^2*b^2*k*lambda^4*mu^3-a^2*b^2*k*lambda^3*mu^4-a^2*b^2*k*lambda^2*mu^5-a^2*b^2*lambda^5*mu^3+$
$a^2*b^2*lambda^3*mu^5-a^2*c^2*k*lambda^5*mu^2-a^2*c^2*k*lambda^4*mu^3+5*a^2*c^2*k*lambda^3*mu^4-3*a^2*c^2*k*lambda^2*mu^5+a^2*c^2*lambda^5*mu^3-$
$a^2*c^2*lambda^3*mu^5+3*a^4*k*lambda^4*mu^2+9*a^4*k*lambda^3*mu^3+3*a^4*k*lambda^2*mu^4-4*a^4*lambda^4*mu^3-4*a^4*lambda^3*mu^4-3*a^2*b^2*k*lambda^5*mu+3*a^2*b^2*k*lambda^4*mu^2+$
$3*a^2*b^2*k*lambda^3*mu^3-3*a^2*b^2*k*lambda^2*mu^4-4*a^2*b^2*lambda^4*mu^3+4*a^2*b^2*lambda^3*mu^4-3*a^2*c^2*k*lambda^4*mu^2+3*a^2*c^2*k*lambda^3*mu^3+3*a^2*c^2*k*lambda^2*mu^4-$
$3*a^2*c^2*k*lambda*mu^5+4*a^2*c^2*lambda^4*mu^3-4*a^2*c^2*lambda^3*mu^4+b^2*c^2*k*lambda^5*mu-$
$4*b^2*c^2*k*lambda^4*mu^2+6*b^2*c^2*k*lambda^3*mu^3-4*b^2*c^2*k*lambda^2*mu^4+b^2*c^2*k*lambda*mu^5+3*a^4*k*lambda^3*mu^2+3*a^4*k*lambda^2*mu^3-2*a^4*lambda^3*mu^3-a^2*b^2*k*lambda^5-$
$a^2*b^2*k*lambda^4*mu+5*a^2*b^2*k*lambda^3*mu^2-3*a^2*b^2*k*lambda^2*mu^3+a^2*b^2*lambda^5*mu-2*a^2*b^2*lambda^4*mu^2+a^2*b^2*lambda^3*mu^3-3*a^2*c^2*k*lambda^3*mu^2+$
$5*a^2*c^2*k*lambda^2*mu^3-a^2*c^2*k*lambda*mu^4-a^2*c^2*k*mu^5+a^2*c^2*lambda^3*mu^3-2*a^2*c^2*lambda^2*mu^4+a^2*c^2*lambda*mu^5+b^4*lambda^5*mu-$
$2*b^4*lambda^4*mu^2+b^4*lambda^3*mu^3+b^2*c^2*k*lambda^5-3*b^2*c^2*k*lambda^4*mu+2*b^2*c^2*k*lambda^3*mu^2+2*b^2*c^2*k*lambda^2*mu^3-3*b^2*c^2*k*lambda*mu^4+b^2*c^2*k*mu^5-$
$b^2*c^2*lambda^5*mu+2*b^2*c^2*lambda^4*mu^2-2*b^2*c^2*lambda^3*mu^3+2*b^2*c^2*lambda^2*mu^4-b^2*c^2*lambda*mu^5+c^4*lambda^3*mu^3-2*c^4*lambda^2*mu^4+c^4*lambda*mu^5+$
$a^4*k*lambda^2*mu^2+a^4*lambda^3*mu^2+a^4*lambda^2*mu^3-a^2*b^2*k*lambda^4+2*a^2*b^2*k*lambda^3*mu-a^2*b^2*k*lambda^2*mu^2+2*a^2*b^2*lambda^4*mu-2*a^2*b^2*lambda^2*mu^3-$
$a^2*c^2*k*lambda^2*mu^2+2*a^2*c^2*k*lambda*mu^3-a^2*c^2*k*mu^4-2*a^2*c^2*lambda^3*mu^2+2*a^2*c^2*lambda*mu^4+b^4*lambda^5-b^4*lambda^4*mu-$
$b^4*lambda^3*mu^2+b^4*lambda^2*mu^3+b^2*c^2*k*lambda^4-4*b^2*c^2*k*lambda^3*mu+6*b^2*c^2*k*lambda^2*mu^2-4*b^2*c^2*k*lambda*mu^3+b^2*c^2*k*mu^4-2*b^2*c^2*lambda^4*mu+$
$2*b^2*c^2*lambda^3*mu^2+2*b^2*c^2*lambda^2*mu^3-2*b^2*c^2*lambda*mu^4+c^4*lambda^3*mu^2-c^4*lambda^2*mu^3-c^4*lambda*mu^4+c^4*mu^5+a^4*lambda^2*mu^2+2*a^2*b^2*lambda^3*mu-$
$2*a^2*b^2*lambda^2*mu^2-2*a^2*c^2*lambda^2*mu^2+2*a^2*c^2*lambda*mu^3+b^4*lambda^4-2*b^4*lambda^3*mu+b^4*lambda^2*mu^2-2*b^2*c^2*lambda^3*mu+4*b^2*c^2*lambda^2*mu^2-$
$2*b^2*c^2*lambda*mu^3+c^4*lambda^2*mu^2-2*c^4*lambda*mu^3+c^4*mu^4＝0$   
至于求k的最大值就是求解${f(lambda,mu,k),d/{dlambda}f(lambda,mu,k),d/{dmu}f(lambda,mu,k)}$得到${k,lambda,mu}$