折纸重叠面积问题

数学星空

在东论 http://bbs.cnool.net/cthread-104852722.html
有个有趣的问题：(来自于叶中豪的贴子）

20多年前，好像是1988年底，单墫教授曾在来信中让我思考如下问题：


“给定一个三角形，沿怎样的直线折叠，重叠面积最大？”


起初我想当然以为沿某一条角平分线时，但单老师提醒说未必如此。

例如下图1中的△ABC，沿每条平分线折叠，重叠部分均不超过面积的40%；但倘按EF折叠就可使重叠部分超过42%。


单老师曾提供给我一篇英文的文献，好像是从《美国数学月刊》上复印下来的，已有老外对此作了全面讨论。可惜这篇文章现在已经找不到了。

我曾得到如下结论：图2中如果平行地调整折痕EF，当且仅当P点在EF上时重叠面积达到相对的最大值，其中P是过D、G分别作AB、AC的平行线所得交点。


至于如何调整折痕EF的方向，使得重叠面积达到绝对的最大值，我记得没能彻底讨论完。已经去世的上海科技教育出版社《中学科技》杂志的陆乃超先生，希望我整理成一篇文章，后来我没能完成。


现请大家证明：任意三角形，折叠后重叠部分总能超过40%。

有谁能给出答案和计算过程？
答案似乎已确定为\(\sqrt{2}-1\)

wayne

好题目,mark一下.

wayne

给定一个三角形, 如果给定的该三角形有一个对称轴, 那么延对称轴 折叠, 重叠面积就是 1/2 了

如果不存在对称轴, 那么,我们可以试着找此 最佳的近似对称轴(目标就是折起来的那部分纸完全落入另一部分纸的面积内 ). 按此轴 折叠, 重叠面积最大.

该命题 是说 "任意三角形" 还是 "给定三角形" ?

hujunhua

我对平行四边以及其它中心对称的图形更有兴趣。中心对称图形的镜像重叠率，听起来就美。

wayne

hujunhua 发表于 2013-12-30 15:07
我对平行四边以及其它中心对称的图形更有兴趣。中心对称图形的镜像重叠率，听起来就美。

棱形，重叠占比50%，
（本质上还是从轴对称的角度考虑）

要是给定一个平行四边形的话，有好几种非常规的折叠方式，值得一算。

数学星空

为了方便计算，我们可以设三角形ABC各顶点坐标分别为$A(x,y),B(-1,0),C(1,0)$
设对称线EF分别交AB于$E(s1,t1)$,交AC于$F(s2,t2)$,且${AE}/{EB}=lambda,{AF}/{FC}=μ$, A点关于对称线的对称点$A1(x01,y01)$
EA1交BC于$B1(x02,y02)$,FA1交BC于$C1(x03,y03)$,则重叠面积率$k=(S_{AEF}-S_{A1B1C1})/S_{ABC}$

我们计算得到：
$s1 = (lambda*x2+x1)/(1+lambda), $
$s2 = (mu*x3+x1)/(1+mu), $
$t1 = (lambda*y2+y1)/(1+lambda),$
$t2 = (mu*y3+y1)/(1+mu)$
设EF直线方程：$a1*x+b1*y+c1=0$
$a1 = -(lambda*mu*y2-lambda*mu*y3-lambda*y1+lambda*y2+mu*y1-mu*y3)*(1+mu)*(1+lambda), $
$b1 = (1+mu)*(1+lambda)*(lambda*mu*x2-lambda*mu*x3-lambda*x1+lambda*x2+mu*x1-mu*x3),$
$c1 = -(1+mu)*(1+lambda)*(lambda*mu*x2*y3-lambda*mu*x3*y2-lambda*x1*y2+lambda*x2*y1+mu*x1*y3-mu*x3*y1)$
$x01=((-a1^2+b1^2)*x1-2*a1*b1*y1-2*a1*c1)/(a1^2+b1^2)$
$y01=((a1^2-b1^2)*y1-2*a1*b1*x1-2*b1*c1)/(a1^2+b1^2)$
$x02=(s1*x2*y01-s1*x2*y3-s1*x3*y01+s1*x3*y2-t1*x01*x2+t1*x01*x3+x01*x2*y3-x01*x3*y2)/(s1*y2-s1*y3-t1*x2+t1*x3-x01*y2+x01*y3+x2*y01-x3*y01),$
$y02=(s1*y01*y2-s1*y01*y3-t1*x01*y2+t1*x01*y3-t1*x2*y3+t1*x3*y2+x2*y01*y3-x3*y01*y2)/(s1*y2-s1*y3-t1*x2+t1*x3-x01*y2+x01*y3+x2*y01-x3*y01), $
$x03=(s2*x2*y01-s2*x2*y3-s2*x3*y01+s2*x3*y2-t2*x01*x2+t2*x01*x3+x01*x2*y3-x01*x3*y2)/(s2*y2-s2*y3-t2*x2+t2*x3-x01*y2+x01*y3+x2*y01-x3*y01), $
$y03=(s2*y01*y2-s2*y01*y3-t2*x01*y2+t2*x01*y3-t2*x2*y3+t2*x3*y2+x2*y01*y3-x3*y01*y2)/(s2*y2-s2*y3-t2*x2+t2*x3-x01*y2+x01*y3+x2*y01-x3*y01)$
$2*(S_{AEF}-S_{A1B1C1})=s1*t2-s1*y1-s2*t1+s2*y1+t1*x1-t2*x1+x01*y02-x01*y03-x02*y01+x02*y03+x03*y01-x03*y02$
$2*S_{ABC}=x1*y2-x1*y3-x2*y1+x2*y3+x3*y1-x3*y2$
然后消元得到：

数学星空

谁有兴趣，再核算一遍，按理说最终得到的表达式应该没有6#这么复杂吧？
另外，当$x=0$时,即$AB=AC$，$EF$应该是$BC$边上的高线，即楼上表达式不适用。

数学星空

根据6#的计算结果进而得到：

数学星空

根据8#的结果：
我们试着计算了四个例子：





谁有兴趣核算一下，结果是否有误？
答案好像只有30%多一点，并没有41%？

hujunhua

如图，为了表现对称性，可以画出三角形沿折痕的镜像，转而讨论这两个互为镜像的三角形的重叠部分，即图中黄色部分并蓝色部分。


进一步，我们讨论这样的两三角形在一般位置（即不再限于镜像位置）的面积重叠率。即本坛讨论过的最大面积重叠问题。在那里，我们讨论的是一个三角形在一个圆上滑动时，三角形与圆的最大面积重叠，在这里，圆被换成了三角形。在那里的28楼，我曾说过“即使把圆换成其它的封闭凸曲线，结论也仍然成立”的话，但那时我们并没有去讨论其它曲线，也不知道换成怎样的曲线比较有趣。这里感觉换成一个对称三角形是比较有趣，值得讨论。

“把圆换成其它的封闭凸曲线”，当时只是说说而已，现在，狼真的来了。

如果在一般位置的情况下，最大重叠解就是处于镜像对称的位置，那该是多么好啊。