求广义定积分

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-1 13:37
民科的一个典型：
当遇到别人正面质疑时，会重复发帖子，而且帖子内容没有针对性，毫无表达力(通过模糊词 ...

这样吧！待我再发一贴，让大家讨论！

mathe

关于40#,
我们需要如下修正
\[\int_a^b \frac{1}{(1-\rm e^{-t})\rm e^{tz}}\dif t=\int_{e^a-1}^{e^b-1} \frac{\dif x}{(1-\frac{1}{1+x})(1+x)^z(1+x)}=\int_{e^a-1}^{e^b-1} \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x\]
\[=\int_a^b \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x-\int_a^{e^a-1} \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x+\int_b^{e^b-1} \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x\]
然后证明后面两项在\(a\to0,b\to\oo\)时都是零即可

mathe

\[\abs{\int_a^{e^a-1} \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x}\le\int_a^{e^a-1}\frac{1}{x}\dif x=\ln(\frac{e^a-1}{a})\]
显然在\(a\to0\)时趋向0
\[\abs{\int_b^{e^b-1} \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x}\le\int_b^{e^b-1}\frac{1}{x^{z+1}}\dif x=\left.-\frac{1}{zx^z}\right|_b^{e^b-1}\]
更加显然在\(b\to\infty\)时趋向0