求广义定积分

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 14:20
`\D\int\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x=\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x)+\rm C`

因为`x  ...

此处推理有错误

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 08:06
此处推理有错误

麻烦指出，详细一点，谢谢

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 11:03
麻烦指出，详细一点，谢谢

（1）既有原函数存在，使用幂级数岂不是画蛇添足吗？
（2）你实际上使用了约定：x→0，1/x→∞.
（3）按此约定，用原函数求之，原积分=0

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 12:07
（1）既有原函数存在，使用幂级数岂不是画蛇添足吗？
（2）你实际上使用了约定：x→0，1/x→∞.
（3） ...

根据原函数，那么定积分值=ln(∞+1)-ln(2*∞)/2-(ln(0+1)-ln(2*0)/2)=∞-∞-(0+∞)
这里面存在"∞-∞"型的不定式：其值有可能是有限值，有可能是0，有可能是∞，有可能值不确定（任何值都可以取）——这就是为何被称为“不定式”的含义了。要确定这个值，就必须进行阶的分析，也就是各个无穷大量的变化快慢关系。

1. 为了便于分析阶,也就是无穷大与无穷大之间的快慢
2. 把前一个x换为t也是这样，跟变量名没关系
3. 按照约定应该=`\infty`

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 12:28
根据原函数，那么定积分值=ln(∞+1)-ln(2*∞)/2-(ln(0+1)-ln(2*0)/2)=∞-∞-(0+∞)
这里面存在"∞-∞"型 ...

当ε→0时，
定积分值=ln(1/ε+1)-(1/2)ln(1/ε)-[ln(ε+1)-(1/2)ln(ε)]=0

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 13:02
当ε→0时，
定积分值=ln(1/ε+1)-(1/2)ln(1/ε)-[ln(ε+1)-(1/2)ln(ε)]=0

关于这一点，我在8楼已经说的很清楚了。

如果还是不满意，那么请看定积分的几何意义——曲线下面积（这个你应该没别的不同意见吧？）

1. Plot[1/(x + 1) - 1/(2 x), {x, 0, 10^8}, Filling -> Axis]

复制代码

函数y=1/(x+1)-1/(2x)图象

很明显，阴影面积不为0（即使你不认为是无穷大，而事实上，就是无穷大）

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 13:48
关于这一点，我在8楼已经说的很清楚了。

如果还是不满意，那么请看定积分的几何意义——曲线下面积（ ...

画的几何曲线是错误的。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 13:48
关于这一点，我在8楼已经说的很清楚了。

如果还是不满意，那么请看定积分的几何意义——曲线下面积（ ...

（1）积分函数：y=1/(x+1)-1/(2x)
（2）当x→0时，y→ - ∞
（3）当0＜x＜1时，y＜0
（4）当x=1时，y=0
（5）当x＞1时，y＞0
（6）当x→∞时，y→0

wayne

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 15:19
（1）积分函数：y=1/(x+1)-1/(2x)
（2）当x→0时，y→ - ∞
（3）当0＜x＜1时，y＜0

他画的是被积函数的图像

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 15:19
（1）积分函数：y=1/(x+1)-1/(2x)
（2）当x→0时，y→ - ∞
（3）当0＜x＜1时，y＜0

这里确实是我的疏忽，由于绘图范围是0到10^8，所以一些细节就看不清楚了。
把代码中的10^8改成50就能看到细节了，如下图（为了避免误导，所以特地传图上来说明一下）


从图可以看出，积分值是`\infty-\infty`的，但是仅仅从图象上还是不知道这个不定式的值。必须通过分析学方法来确定。