求广义定积分

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 22:14
你这里的“普西函数”是指对数gamma函数吗？具体来说是这个链接里面的http://en.wikipedia.org/wiki/Diga ...

  普西函数ψ(z)的高斯积分公式和狄利克雷积分公式分别是数学家高斯和狄利克雷的公式，而不是我的公式。

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 22:48
普西函数ψ(z)的高斯积分公式和狄利克雷积分公式分别是数学家高斯和狄利克雷的公式，而不是我的公式。

你都没正面回答过我的问题，我只需要你给出29楼的疑问的回答（给出“是”或者“不是”）。
你却一直在反复说着一些毫无意义的言论。

你所谓的那些公式我没在任何教材以及辅导书上见过，请问你是在哪本书看到的，就像我在另一个帖子中给出复变函数教材截图一样，你也给出依据行不？否则就没法交流，也不需要交流了。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 23:01
你都没正面回答过我的问题，我只需要你给出29楼的疑问的回答（给出“是”或者“不是”）。
你却一直在反 ...

有关”普西函数ψ(z)的高斯积分公式和狄利克雷积分公式“参见：
（高等数学）特殊函数（第4页）
http://www.doc88.com/p-80722308331.html

wayne

普西函数，高斯积分公式，狄利克莱积分公式，。。。

真的不知道你走的是什么路线，我和kastin都没搞明白，可否指出这些概念的出处？

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-1 00:37
真的不知道你走的是什么路线，我和kastin都没搞明白，可否指出这些概念的出处？

我走的路线是：按照“普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换，证明本题积分=0

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-1 00:39
根据你163博客里的那个高斯积分公式，算得积分值是：
\(\int_0^1 \left(-\frac{t^{z-1}}{1-t}-\frac{1}{\l ...

打字太麻烦，可参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 406220139209399795/

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-1 00:37
真的不知道你走的是什么路线，我和kastin都没搞明白，可否指出这些概念的出处？

普西函数的高斯积分公式和狄利克莱积分公式，在（高等数学）特殊函数（第4页）中说得很清楚：
http://www.doc88.com/p-80722308331.html

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-1 00:39
根据你163博客里的那个高斯积分公式，算得积分值是：
\(\int_0^1 \left(-\frac{t^{z-1}}{1-t}-\frac{1}{\l ...

（1）我对TeX输入还不会；
（2）”普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式，这肯定是正确的，不容怀疑；
（3）将”普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换，比较复杂，我还没有打好底稿。

wayne

本来是很简单的一道题目，简单的分析即可。
您选择了一条曲折，幽僻，非主流，极易出错误的的路线，得出0这个答案。如果连您都没耐心把过程给出来的话，我们就更不可能去深入您的细节了

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 20:36
那你能否将“普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换吗？

根据http://www.doc88.com/p-80722308331.html
Psi函数的高斯公式是
$$\Psi(z)=\int_0^\oo \frac{1}{t\rm e^t}-\frac{1}{(1-\rm e^{-t})\rm e^{tz}}\dif t$$
而狄利克雷公式是
$$\Psi(z)=\int_0^\oo \frac{1}{t\rm e^t}-\frac{1}{t(1+t)^z}\dif t$$
楼主是想证明这两个积分式子等价，其实很简单，只需要证明两个积分中后面那一项等价即可。

令`x=\rm e^t-1`，那么`\D\dif t=\frac{\dif x}{x+1}`.注意到`t`从`0`连续变化到`\oo`时，`x`也是从`0`连续变化到`\oo`，所以

$$\int_0^\oo \frac{1}{(1-\rm e^{-t})\rm e^{tz}}\dif t=\int_0^\oo \frac{\dif x}{(1-\frac{1}{1+x})(1+x)^z(1+x)}=\int_0^\oo \frac{1}{x(1+x)^z}\dif x$$
把`x`换为`t`，这就是狄利克雷公式中的后面一项，证明完毕。

这个过程不需要任何的假设，楼主企图加入自己独创所谓的“发散变换”（即认为1楼的定积分值为0）来证明，有点搞笑。要知道，1楼给的定积分是发散的（即其值可以是任何值）。