求广义定积分

zuijianqiugen

\(\D\int_0^\infty\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x=? \)

kastin

积分发散

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 11:18
积分发散

如何证明？

wayne

是发散的。这个连 不定积分都能求出来。

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-29 12:42
如何证明？

`\D\int\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x=\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x)+\rm C`

因为`x \to \infty`时
\[\ln(x+1)\sim-\ln(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+O((\frac{1}{x})^4)\]
$$\ln(2x) \sim \ln2-\ln(\frac{1}{x})+O((\frac{1}{x})^4)$$

所以$$\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x) \sim -\ln2-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{x})+O(\frac{1}{x}) \quad(x \to \infty)$$
根据牛顿-莱布尼兹公式，定积分值为
$$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x)-\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x) \sim  \\ -\ln2-\frac{1}{2}\ln x+O(x)-(x+\ln2+\ln x+O(x^2))\\
\sim -\ln x +O(x)=\infty \quad (x \to 0^+) $$
上面对于`x\to +\infty`过程通过倒代换化为`x\to 0^+`过程。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 14:20
`\D\int\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x=\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x)+\rm C`

因为`x  ...

按此约定：原定积分=0
参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622013712104515805/

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 11:18
积分发散

积分收敛=0

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-30 09:52
按此约定：原定积分=0
参见http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/1265240622013712104515805/

你犯了一个错误，`\varepsilon \to 0`与`\D\frac{k}{\varepsilon} \to \oo`对于`\varepsilon \to 0`的时候是同样快慢的极限过程。定积分值可不是要求这样取极限的。二次极限与二重极限是不同的。通过替换不定积分中的k的值来求定积分的值，这就默认了积分上下限得同时按照那个倒数关系的规律逼近各自的极限值。

kastin

对于高等数学稍微接触较长的人都能有这样一种感受，那就是求和和积分的本质都是一样的，只是一个是离散形式，而另一个是连续形式。
比如柯西不等式（其本质就是向量空间中的内积性质）在积分中就有相应的积分形式，同样其他很多著名的不等式，诸如闵可夫斯基不等式，赫德尔不等式等的都有对应的形式。类似的还有，求极限的O'Stolz定理是L'Hospital法则的离散形式；Abel求和公式其实就是分部积分公式的离散形式……

无穷级数与无穷积分也是这样的一对，互为离散和连续形式，回忆一下级数审敛法与广义积分审敛法就不难发现这个奇妙关系。

我们知道，传统意义上无穷级数的和是有着一套定义的，对于一些发散级数就不收敛了，比如1-1+1-1+... 究竟等于多少？其实归根到底，这取决于级数和的定义。毫无疑问，像 1-1+1-1+... 这样的所谓发散级数的传统和是不存在的， 也就是说传统部分和 sn 的极限是不存在的。 因此，很多数学家提出了“广义和”的概念。

广义和的定义通常有两类： 一类是对传统和进行 “函数化”， 然后定义广义和为函数的某种极限， 比如 Abel sum, Borel sum 等 (这类定义类似于对可去奇点的处理)； 另一类是用其部分和构造的某种无穷序列 (比如部分和的平均值，或者加权平均值) 来代替传统意义的部分和， 将其极限定义为广义和， 比如 Cesaro sum。

我们利用广义和中的第一类定义来求1-1+1-1+...

按照 Abel sum 的观点，上述数项级数的广义和就是 1+x+x^2+x^3+... 在x→-1 处的值（注意，不能用于 x=-1， 因为这正是传统意义的和， 它并不存在）。又如，利用 1-x^(-1)+x^(-3)-x^(-4)+x^(-6)-x^(-7)+... (各项指数分别是 0, -1, -3, -4, ..., -3n, -3n-1, -3n-3, -3n-4, ...) 对 1-1+1-1+... 函数化。 这一函数级数在|x|>1 内收敛于 x^2/(x^2+x+1)， 它所给出的 1-1+1-1+... 的广义和是 1/3。

定义不同，导致的结果也就不同，不能说哪个有问题。

既然级数可以看成是广义积分的离散形式。那么无穷级数的和与广义积分的值也是有类似的关系的。因此依据传统意义上的广义积分值的定义，楼主所给定积分确实是发散的。而按照楼主给出的那种定义来求广义积分的值，那么这种定义下的“广义积分值”结果是0.

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 14:20
`\D\int\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x=\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(2x)+\rm C`

因为`x  ...

此处推理有错误