求广义定积分

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 15:38
这里确实是我的疏忽，由于绘图范围是0到10^8，所以一些细节就看不清楚了。
把代码中的10^8改成50就能看 ...

   ∫(0,∞)[1/(x+1)-1/(2x)]dx
=(ε→+0)∫(ε,1/ε)[1/(x+1)-1/(2x)]dx
=(ε→+0){ln(1/ε+1)-(1/2)ln(1/ε)-[ln(ε+1)-(1/2)ln(ε)]}
=0

wayne

参考2楼，原函数
\[\begin{equation} \begin{split}
F(x) &= \D\int\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x \\
&=\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(x)+\rm C \\
&= \frac{1}{2}\ln \frac{(x+1)^2}{x}+C \\

\int_0^\infty\left(\frac1{x+1} - \frac1{2x}\right)\dif x &=\lim_{a\to0,b\to\infty}( F(b)-F(a) )\\
&=\lim_{a\to0,b\to\infty} \frac{1}{2}\ln  ((\frac{b+1}{a+1})^2\cdot \frac{a}{b}) \\
&=\lim_{a\to0,b\to\infty} \frac{1}{2}\ln (a b) \\
\end{split} \end{equation}
\]

所以，积分结果是未定义的, 跟ab 有关系
==

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 15:55
∫(0,∞)[1/(x+1)-1/(2x)]dx
=(ε→+0)∫(ε,1/ε)[1/(x+1)-1/(2x)]dx
=(ε→+0){ln(1/ε+1)-(1/2)l ...

但是这种做法有任何根据吗？有任何教材中有类似的例子告诉读者，对于上下限均原函数奇点的定积分，其计算方法可以这么做？

很简单一个事实就是，这里的(ε,1/ε)取作(ε,ln(1/ε))仍然满足条件，因为(ε→+0)时候(ε,ln(1/ε))分别趋于0和∞。
这时候按照你的做法，极限值应该是 -∞.

wayne

wayne 发表于 2014-5-29 13:37
是发散的。这个连 不定积分都能求出来。

发散跟未定义还是两码事的。
怪我先前武断了，罪过。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 16:19
但是这种做法有任何根据吗？有任何教材中有类似的例子告诉读者，对于上下限均原函数奇点的定积分，其计 ...

参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 406220139209399795/

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 18:07
参见http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/12652406220139209399795/

你的这里理论我都没见过，并且只有结论没有严谨的证明。这样的东西我难以看明白，也难以信服。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 20:13
你的这里理论我都没见过，并且只有结论没有严谨的证明。这样的东西我难以看明白，也难以信服。

那你能否将“普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换吗？

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-5-29 13:37
是发散的。这个连 不定积分都能求出来。

按照“普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换，此积分=0

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-5-31 20:36
那你能否将“普西函数”的高斯积分公式和狄利克莱积分公式进行恒等变换吗？

你这里的“普西函数”是指对数gamma函数吗？具体来说是这个链接里面的http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function

而你说的高斯积分公式是指`e^{-x^2}`在负无穷到正无穷的定积分吗？我想，不会是指高斯求积公式吧？
狄利克雷积分公式是指`\D\frac{\sin x}{x}`在0到正无穷的定积分？

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-31 22:14
你这里的“普西函数”是指对数gamma函数吗？具体来说是这个链接里面的http://en.wikipedia.org/wiki/Diga ...

普西函数ψ(z)有两大形式：高斯积分公式和狄利克雷积分公式
25^#楼有说明。